Miałam okazje poczuć się uczennicą. Na warsztacie z lesson study planowaliśmy lekcje na temat pola równoległoboku. Potem jedna z osób przeprowadziła tę lekcję, a my odgrywaliśmy rolę uczniów. Niezwykle cenne doświadczenie. Zyskałam kilka dobrych wskazówek dla siebie jako nauczycielki.
Byłam specyficznym uczniem, gdyż pole równoległoboku nie ma już dla mnie zbyt wielu tajemnic. Nasza koleżanka – nauczycielka założyła, że znamy już pojęcie równoległoboku, ale i tak ktoś od razu na początku zapytał, co to znaczy równoległe. Nauczycielka nie chcąc nas zostawić w niewiedzy (II strategia OK), poprosiła, aby kilku uczniów narysowało na tablicy po dwie linie równolegle. Wykonanie zadania poszło nam dobrze, ale ja zauważyłam, że jedne rysunki linii są „krótsze” a inne dłuższe. Nasza Pani używała też wymiennie pojęć: odcinki, linie i proste. Poczułam się zagubiona i zapytałam, dlaczego narysowane przez kolegę dwa odcinki równoległe maja różne długości.
Moje pytanie zostało bez odpowiedzi, myślę, że nauczycielka pomyślała, że nie jest one związane z tematem lekcji. Wtedy poczułam, że nie jestem ważna i lekcja przestałą mnie interesować. Nawet z lekka się wyłączyłam i kiedy nauczycielka wywołała mnie do odpowiedzi, nie wiedziałam o co pyta. Koleżanka podpowiedziała mi odpowiedź – „równobok” i ja za nią powtórzyłam, mimo, że powinnam powiedzieć czworokąt, a słowa równobok nie znam. Nauczycielka nie skrytykowała mnie na szczęście za popełniony błąd i ktoś inny odpowiedział prawidłowo.
W trzy osobowych zespołach, otrzymaliśmy papierowy równoległobok i polecenie przecięcia , go w taki sposób, abyśmy mogli policzyć pole złożonych ze sobą figur (zakładano, że już umiemy policzyć pole prostokąta). Równoległobok i nożyczki były w liczbie pojedynczej, koleżanki zabrały narzędzia, nie mogłam nic przecinać. Oczywiście wiedziałam (jestem nauczycielką matematyki) jak przeciąć właściwie, ale nie miałam okazji tego zrobić. Pomyślałam uczniowsko –„niech koleżanki to zrobią” i znowu popadłam w znane mi uczniowskie odrętwienie.
Zaczęłam samodzielnie rysować w zeszycie równoległoboki i je „przecinać”. Zadałam sobie pytanie: Czy tylko tnąc wzdłuż którejś wysokości uzyskam możliwość dwóch powstałych kawałków w prostokąt. Prawdopodobnie uczniom na pierwszej lekcji o polu równoległoboku nie przyszłoby takie pytanie do głowy, ale może…. Próbowałam zapytać o to na forum klasy, ale nikt się nie zainteresował, a nauczycielka chciała kontynuować poszukiwanie wzoru na pole. Zostałam z tym pytaniem sama i niestety zupełnie już nie zainteresowana lekcją.
To doświadczenie nauczyło mnie, że:
- Nauczyciel nie wie, co dzieje się w głowie indywidualnego ucznia i powinien w tę głowę zaglądać podczas lekcji.
- Nie powinno się zostawiać pytania ucznia bez odpowiedzi, albo obiecać mu, że się na to pytanie wkrótce uzyskamy odpowiedź.
- Praca w grupach musi być tak zorganizowana, aby pracować mogli (musieli) wszyscy uczniowie.
- Nauczyciel nie jest w stanie ocenić nad czym uczeń się zamyślił. Warto pytać uczniów, czy są obecni też duchem.
- Na każde pytanie warto poprosić o poszukiwanie odpowiedzi w parach, wtedy nawet zasypiający uczeń budzi się.
Może my nauczyciele powinniśmy mieć więcej okazji do spojrzenia na szkołę oczami uczniów.
Przy okazji, zapytałam na jednej z dużych konferencji nauczycieli, dyrektorów szkól i samorządowców – czy będąc uczniami często nudzili się w szkole i….. prawie wszyscy odpowiedzieli, że nudzili się, ale rzadko. Do jakich szkól oni chodzili?
110 komentarzy
Xawer
26 maja 2014 at 16:36A ja w temacie dygresyjnym.
Zauważ, że Euklides w ogóle nie używał pojęcia „prosta”, nawet go nie znał. Euklidesowa „linia” ($\gamma\rho\alpha\mu\mu\grave\eta$) to fragment dowolnej krzywej, niekoniecznie prosty. Euklides ma też i „linię prostą” to właśnie jest nasz odcinek.
Najlepiej widać to po 3. Definicji: „końcami linii są punkty” i po 2. Postulacie: „każdą linię prostą można przedłużyć do linii prostej dowolnej długości”.
Nawet sławny 5. Postulat nie mówi o tym, że nierównoległe proste się przecinają, jak to dziś jest formułowane, ale o tym, że przetną się, jeśli się je będzie odpowiednio przedłużać…
Nie śledziłem aż tak starannie historii matematyki (zazdroszczę Ci trochę wykładów Kordosa) żeby złapać, kto i kiedy zamącił w tych pojęciach. Na pewno już David Hilbert używał pojęcia „linia” w dzisiejszym znaczeniu nieskończonej „linii prostej”, więc tym razem nie obwiniam o ten zamęt szkoły, tylko raczej XIX-wieczną matematykę akademicką.
A tak z ciekawości zapytam Cię — nauczycielkę ze szkolną praktyką — co znaczy „właściwie” w kontekście rozcinania równoległoboku? Na tych zajęciach, jak sądzę, co najmniej dwa sposoby zostały wymyślone, bo uczestnicy nie mieli wcześniej w ręku szkolnego podręcznika i po prostu kombinowali po swojemu, a dwa sposoby są oczywiste do wymyślenia. Zgaduję, że podręczniki mają tu jeden właściwy sposób? Czy w normalnej klasie szkolnej z uczniami spodziewałabyś się różnych poprawnych rozcięć, czy raczej wszystkich takich samych i zgodnych z rysunkiem w podręczniku (poza tymi, co pójdą w maliny, bo ich to w ogóle nie obchodzi i ani nie myślą, ani nie zaglądają do podręcznika)?
Bo przyznam, że ja natychmiast po pokrojeniu w myśli swojego równoległoboku uzyskałem wzór: pole równoległoboku ABCD to długość przekątnej AC razy odległość punktu B od tej przekątnej AC. Taki prostokąt złożył mi się w myśli najszybciej.
Ciekawe, czy Twojej prowadzącej by się taka odpowiedź i taki sposób pocięcia podobały….?
Przy okazji — sama widzisz, jakie są skutki dawania zadań, wymagających w swojej istocie najzupełniej indywidualnej wyobraźni, grupom (trójkom) do wykonania. To się tak zawsze kończy: jeden robi, a reszta się nudzi, przeszkadza mu, albo pozoruje współdziałanie, żeby nauczyciel się nie czepiał. Nie rozumiem, dlaczego sądzisz, że gdyby to było w parach, a nie w trójkach, to efekt byłby inny. Owszem, byłby lepszy: nudziłaby się tak jak Ty i wyłączyła z lekcji tylko połowa, a nie 2/3 uczniów.
Danusia
28 maja 2014 at 14:06Ksawery
Gdyby każde z nas miało swój równoległobok i próbowało, a potem byśmy razem np przecięli czwarty, to byłaby dobra współpraca. Jeśli wykonywalibyśmy zadanie indywidualnie, to część mogłaby sobie zupełnie nie poradzić.
To kwestia organizacji pracy w grupach. Nie dam się wybić z myślenia o wyższości pracy w grupach nad indywidualną.
Hołduje poglądowi, ze uczenie się jest procesem społecznym!
D
Xawer
28 maja 2014 at 14:21Jaka współpraca z tym czwartym równoległobokiem???
Każdy by samodzielnie rozwiązał całe zadanie, a na koniec jedno z poprawnych rozwiązań zostałoby przedstawione jako wspólne. Najprawdopodobniej pierwsze, jakie by się pojawiło, a w tym momencie pozostali przestaliby kombinować nad wymyśleniem swojego, bo przecież już mamy, czego od nas oczekują.
Gdyby w tej grupie rozwiązywać w ten sposób więcej zadań, to cała reszta by i tak wiedziała, że Danusia najszybciej rozwiąże poprawnie, więc po co oni mają się nad tym w ogóle zastanawiać?
No i co z tego, że część by sobie w ogóle nie poradziła? Czy skopiowanie rozwiązania od koleżanki jest bardziej rozwijające, niż oddanie pustej kartki? I mniej dołujące dla dziecka, które wie, że nie ono wymyśliło rozwiązanie, tylko podpisało się pod rozwiązaniem kolezanki?
Bo chyba nie chodzi tu o to, żeby wszyscy wiedzieli, że $P=a\cdot h$? Jeśli o to ma chodzić, to lepsze będą mnemotechniki z wierszykami: Pah-pah-pah-pah! (choć i tak wszyscy szybko zapomną, co to $a$ i $h$)
„Hołduje poglądowi, ze uczenie się jest procesem społecznym!”
To widzę od dawna, ale spróbuj to przekonanie uzasadniać merytorycznie, a nie argumentem typu „ja w to wierzę i nie dam się z tej wiary wybić”.
Robert Raczyński
29 maja 2014 at 09:55Rozmycie odpowiedzialności zawsze poprawia samopoczucie… I o to chodzi w nowej edukacji – o poprawę samopoczucia. O ile, sporadycznie to może przełożyć się na wyniki, to niestety w większości przypadków, sprowadza się to do społecznej funkcji wzajemnego iskania się…
Danusia
30 maja 2014 at 19:42Ksawery
ja to jestem do szpiku kości praktyk. I mnie się współpraca sprawdza. i to od dawna. Nawet w czasie studiów uczyłam się zespołowo. Pracę magisterska pisałam z moja przyjaciółką i dopiero pod koniec musiałyśmy się podzielić tematami, bo jednak nasze uczelnie nie pozwalały na wspólne prace.
Ale dużo się wzajemnie od siebie z przyjaciółką nauczyłyśmy.
D
Xawer
30 maja 2014 at 20:35” mnie się współpraca sprawdza ”
A jakie jest kryterium tego sprawdzania się?
Zwłaszcza w kontekście uczenia geometrii euklidesowej?
Xawer
26 maja 2014 at 16:36A ja w temacie dygresyjnym.
Zauważ, że Euklides w ogóle nie używał pojęcia „prosta”, nawet go nie znał. Euklidesowa „linia” ($\gamma\rho\alpha\mu\mu\grave\eta$) to fragment dowolnej krzywej, niekoniecznie prosty. Euklides ma też i „linię prostą” to właśnie jest nasz odcinek.
Najlepiej widać to po 3. Definicji: „końcami linii są punkty” i po 2. Postulacie: „każdą linię prostą można przedłużyć do linii prostej dowolnej długości”.
Nawet sławny 5. Postulat nie mówi o tym, że nierównoległe proste się przecinają, jak to dziś jest formułowane, ale o tym, że przetną się, jeśli się je będzie odpowiednio przedłużać…
Nie śledziłem aż tak starannie historii matematyki (zazdroszczę Ci trochę wykładów Kordosa) żeby złapać, kto i kiedy zamącił w tych pojęciach. Na pewno już David Hilbert używał pojęcia „linia” w dzisiejszym znaczeniu nieskończonej „linii prostej”, więc tym razem nie obwiniam o ten zamęt szkoły, tylko raczej XIX-wieczną matematykę akademicką.
A tak z ciekawości zapytam Cię — nauczycielkę ze szkolną praktyką — co znaczy „właściwie” w kontekście rozcinania równoległoboku? Na tych zajęciach, jak sądzę, co najmniej dwa sposoby zostały wymyślone, bo uczestnicy nie mieli wcześniej w ręku szkolnego podręcznika i po prostu kombinowali po swojemu, a dwa sposoby są oczywiste do wymyślenia. Zgaduję, że podręczniki mają tu jeden właściwy sposób? Czy w normalnej klasie szkolnej z uczniami spodziewałabyś się różnych poprawnych rozcięć, czy raczej wszystkich takich samych i zgodnych z rysunkiem w podręczniku (poza tymi, co pójdą w maliny, bo ich to w ogóle nie obchodzi i ani nie myślą, ani nie zaglądają do podręcznika)?
Bo przyznam, że ja natychmiast po pokrojeniu w myśli swojego równoległoboku uzyskałem wzór: pole równoległoboku ABCD to długość przekątnej AC razy odległość punktu B od tej przekątnej AC. Taki prostokąt złożył mi się w myśli najszybciej.
Ciekawe, czy Twojej prowadzącej by się taka odpowiedź i taki sposób pocięcia podobały….?
Przy okazji — sama widzisz, jakie są skutki dawania zadań, wymagających w swojej istocie najzupełniej indywidualnej wyobraźni, grupom (trójkom) do wykonania. To się tak zawsze kończy: jeden robi, a reszta się nudzi, przeszkadza mu, albo pozoruje współdziałanie, żeby nauczyciel się nie czepiał. Nie rozumiem, dlaczego sądzisz, że gdyby to było w parach, a nie w trójkach, to efekt byłby inny. Owszem, byłby lepszy: nudziłaby się tak jak Ty i wyłączyła z lekcji tylko połowa, a nie 2/3 uczniów.
Danusia
28 maja 2014 at 14:06Ksawery
Gdyby każde z nas miało swój równoległobok i próbowało, a potem byśmy razem np przecięli czwarty, to byłaby dobra współpraca. Jeśli wykonywalibyśmy zadanie indywidualnie, to część mogłaby sobie zupełnie nie poradzić.
To kwestia organizacji pracy w grupach. Nie dam się wybić z myślenia o wyższości pracy w grupach nad indywidualną.
Hołduje poglądowi, ze uczenie się jest procesem społecznym!
D
Xawer
28 maja 2014 at 14:21Jaka współpraca z tym czwartym równoległobokiem???
Każdy by samodzielnie rozwiązał całe zadanie, a na koniec jedno z poprawnych rozwiązań zostałoby przedstawione jako wspólne. Najprawdopodobniej pierwsze, jakie by się pojawiło, a w tym momencie pozostali przestaliby kombinować nad wymyśleniem swojego, bo przecież już mamy, czego od nas oczekują.
Gdyby w tej grupie rozwiązywać w ten sposób więcej zadań, to cała reszta by i tak wiedziała, że Danusia najszybciej rozwiąże poprawnie, więc po co oni mają się nad tym w ogóle zastanawiać?
No i co z tego, że część by sobie w ogóle nie poradziła? Czy skopiowanie rozwiązania od koleżanki jest bardziej rozwijające, niż oddanie pustej kartki? I mniej dołujące dla dziecka, które wie, że nie ono wymyśliło rozwiązanie, tylko podpisało się pod rozwiązaniem kolezanki?
Bo chyba nie chodzi tu o to, żeby wszyscy wiedzieli, że $P=a\cdot h$? Jeśli o to ma chodzić, to lepsze będą mnemotechniki z wierszykami: Pah-pah-pah-pah! (choć i tak wszyscy szybko zapomną, co to $a$ i $h$)
„Hołduje poglądowi, ze uczenie się jest procesem społecznym!”
To widzę od dawna, ale spróbuj to przekonanie uzasadniać merytorycznie, a nie argumentem typu „ja w to wierzę i nie dam się z tej wiary wybić”.
Robert Raczyński
29 maja 2014 at 09:55Rozmycie odpowiedzialności zawsze poprawia samopoczucie… I o to chodzi w nowej edukacji – o poprawę samopoczucia. O ile, sporadycznie to może przełożyć się na wyniki, to niestety w większości przypadków, sprowadza się to do społecznej funkcji wzajemnego iskania się…
Danusia
30 maja 2014 at 19:42Ksawery
ja to jestem do szpiku kości praktyk. I mnie się współpraca sprawdza. i to od dawna. Nawet w czasie studiów uczyłam się zespołowo. Pracę magisterska pisałam z moja przyjaciółką i dopiero pod koniec musiałyśmy się podzielić tematami, bo jednak nasze uczelnie nie pozwalały na wspólne prace.
Ale dużo się wzajemnie od siebie z przyjaciółką nauczyłyśmy.
D
Xawer
30 maja 2014 at 20:35” mnie się współpraca sprawdza ”
A jakie jest kryterium tego sprawdzania się?
Zwłaszcza w kontekście uczenia geometrii euklidesowej?
Andy
28 maja 2014 at 13:18Czy można pokroić tak:
http://oi59.tinypic.com/23lyvqr.jpg
Danusia
28 maja 2014 at 14:07Zapominałam dodać, że jednym cięciem!
Xawer
28 maja 2014 at 14:42I znów na marginesie: z tym jednym cięciem, to jest wymóg odchodzący od tradycyjnej geometrii w ujęciu Euklidesa.
Euklides po pierwsze dopuszczał cięcie na dowolną (dopiero Banach z Tarskim zauważyli, że liczba fragmentów musi być skończona) liczbę fragmentów, po drugie „triangulował”, czyli ciął tak, by na końcu powstały trójkąty, bo te są najprostsze, a pole trójkąta też przecież umiemy policzyć, nie gorzej, niż pole prostokąta.
Stąd, jak podejrzewam, moje (i Andy’ego, któremu jeszcze raz gratuluję euklidesowej wyobraźni i pięknej ilustracji) natychmiastowe skojarzenie z rozcięciem równoległoboku na dwa trójkąty, a dalsze cięcia, to tylko dopasowanie się do wymogu, by złożyć na koniec prostokąt.
Andy
28 maja 2014 at 13:18Czy można pokroić tak:
http://oi59.tinypic.com/23lyvqr.jpg
Danusia
28 maja 2014 at 14:07Zapominałam dodać, że jednym cięciem!
Xawer
28 maja 2014 at 14:42I znów na marginesie: z tym jednym cięciem, to jest wymóg odchodzący od tradycyjnej geometrii w ujęciu Euklidesa.
Euklides po pierwsze dopuszczał cięcie na dowolną (dopiero Banach z Tarskim zauważyli, że liczba fragmentów musi być skończona) liczbę fragmentów, po drugie „triangulował”, czyli ciął tak, by na końcu powstały trójkąty, bo te są najprostsze, a pole trójkąta też przecież umiemy policzyć, nie gorzej, niż pole prostokąta.
Stąd, jak podejrzewam, moje (i Andy’ego, któremu jeszcze raz gratuluję euklidesowej wyobraźni i pięknej ilustracji) natychmiastowe skojarzenie z rozcięciem równoległoboku na dwa trójkąty, a dalsze cięcia, to tylko dopasowanie się do wymogu, by złożyć na koniec prostokąt.
Xawer
28 maja 2014 at 14:08Dzięki Andy! To (z dokładnością do obrotu) dokładnie to pokrojenie, jakie mi się wyobraziło jako pierwsze i dało ten „niezbyt szkolny” wzór na pole równoległoboku.
Moje gratulacje!
Xawer
28 maja 2014 at 14:08Dzięki Andy! To (z dokładnością do obrotu) dokładnie to pokrojenie, jakie mi się wyobraziło jako pierwsze i dało ten „niezbyt szkolny” wzór na pole równoległoboku.
Moje gratulacje!
Robert Raczyński
29 maja 2014 at 20:25Ze wszystkich swoich uczniowskich doświadczeń najgorzej wspominam te sytuacje, które wymagały wyważania otwartych drzwi. Tak, tak, pracę w parach i grupach wynaleziono w zeszłym stuleciu :).) Ta męka wspólnego wałkowania oczywistości i odkrywania Ameryki na horyzoncie własnej ławki…
Nie istnieje nawet cień gwarancji, że w pracę zespołową zaangażowani są wszyscy uczestnicy. Wręcz przeciwnie, prowokujemy „wynalazek” podziału pracy – „kujon” myśli i rozwiązuje „problem”, ktoś obdarzony czytelnym charakterem pisma robi notatki, zdolny wokalnie referuje wyniki, a zdolny inaczej robi za „frekwencję”. Może z socjologicznego punktu widzenia jest to cenne, ale edukacyjnie wątpliwe.
Danusia
30 maja 2014 at 19:46Ze wszystkich swoich uczniowskich doświadczeń…. najlepiej wspominam chwile, gdy pozwolono mi pracować wspólnie z innymi i uczyć się wzajemnie.
Widać co człowiek, to inna perspektywa.
Ale w kontekście badań profesora Czapińskiego, to jednak warto uczyć współpracy, bo nam kapitał społeczny maleje.
D
Robert Raczyński
31 maja 2014 at 10:33Tyle, że ja uczę języka (najbardziej społecznej umiejętności jaką można sobie wyobrazić), a nie polityki społecznej i jakoś nie zaobserwowałem, żeby uczniowie chętniej wykonywali w grupach zadania możliwe do wykonania indywidualnie. Nic na siłę.
Sorge
6 czerwca 2014 at 18:37A ja na własnego doświadczenia uczniowskiego i nauczycielskiego doświadczenia śmiem twierdzić, że kolektywizacja jest najgorszym możliwym rozwiązaniem. Każdy chce być nagradzany za swoje sukcesy, a ewentualnie karany za swoje ale wyłącznie swoje błędy. W życiu nie udało mi się niczego nauczyć w grupie, ale obowiązująca religia OK nie przyjmuje do wiadomości takich przypadków. Przykre to z punktu widzenia uczniów, których zmusza się do grupowego udawania, ze coś robią
Xawer
31 maja 2014 at 12:15Mam dokładnie taką samą obserwację powstającego podziału pracy, jak opisał Robert. Z uzupełnieniem, że cała ta reszta przeszkadza „kujonowi” w wymyślaniu rozwiązania.
W efekcie takiej współpracy wprawdzie wszyscy mają w zeszytach wpisane poprawnie rozwiązane zadania, ale jeśli potem przeegzaminujesz ich wszystkich z tego tematu, to wyłącznie „kujon” będzie umiał cokolwiek, a reszta, pozbawiona kujońskiego wsparcia, nie poradzi sobie samodzielnie z podobnym problemem. Nauczą się jeszcze mniej, niż gdyby samodzielnie próbowali i by im nie wyszło – tak nawet nie próbują samodzielnego myślenia.
W matematyce bardzo trudno o problemy, nadające się do sensownego podziału pracy. Podobnie trudno, jak o tematy przekładające się na potrzebę aktywności fizycznej w lesie.
Robert Raczyński
29 maja 2014 at 20:25Ze wszystkich swoich uczniowskich doświadczeń najgorzej wspominam te sytuacje, które wymagały wyważania otwartych drzwi. Tak, tak, pracę w parach i grupach wynaleziono w zeszłym stuleciu :).) Ta męka wspólnego wałkowania oczywistości i odkrywania Ameryki na horyzoncie własnej ławki…
Nie istnieje nawet cień gwarancji, że w pracę zespołową zaangażowani są wszyscy uczestnicy. Wręcz przeciwnie, prowokujemy „wynalazek” podziału pracy – „kujon” myśli i rozwiązuje „problem”, ktoś obdarzony czytelnym charakterem pisma robi notatki, zdolny wokalnie referuje wyniki, a zdolny inaczej robi za „frekwencję”. Może z socjologicznego punktu widzenia jest to cenne, ale edukacyjnie wątpliwe.
Danusia
30 maja 2014 at 19:46Ze wszystkich swoich uczniowskich doświadczeń…. najlepiej wspominam chwile, gdy pozwolono mi pracować wspólnie z innymi i uczyć się wzajemnie.
Widać co człowiek, to inna perspektywa.
Ale w kontekście badań profesora Czapińskiego, to jednak warto uczyć współpracy, bo nam kapitał społeczny maleje.
D
Robert Raczyński
31 maja 2014 at 10:33Tyle, że ja uczę języka (najbardziej społecznej umiejętności jaką można sobie wyobrazić), a nie polityki społecznej i jakoś nie zaobserwowałem, żeby uczniowie chętniej wykonywali w grupach zadania możliwe do wykonania indywidualnie. Nic na siłę.
Sorge
6 czerwca 2014 at 18:37A ja na własnego doświadczenia uczniowskiego i nauczycielskiego doświadczenia śmiem twierdzić, że kolektywizacja jest najgorszym możliwym rozwiązaniem. Każdy chce być nagradzany za swoje sukcesy, a ewentualnie karany za swoje ale wyłącznie swoje błędy. W życiu nie udało mi się niczego nauczyć w grupie, ale obowiązująca religia OK nie przyjmuje do wiadomości takich przypadków. Przykre to z punktu widzenia uczniów, których zmusza się do grupowego udawania, ze coś robią
Xawer
31 maja 2014 at 12:15Mam dokładnie taką samą obserwację powstającego podziału pracy, jak opisał Robert. Z uzupełnieniem, że cała ta reszta przeszkadza „kujonowi” w wymyślaniu rozwiązania.
W efekcie takiej współpracy wprawdzie wszyscy mają w zeszytach wpisane poprawnie rozwiązane zadania, ale jeśli potem przeegzaminujesz ich wszystkich z tego tematu, to wyłącznie „kujon” będzie umiał cokolwiek, a reszta, pozbawiona kujońskiego wsparcia, nie poradzi sobie samodzielnie z podobnym problemem. Nauczą się jeszcze mniej, niż gdyby samodzielnie próbowali i by im nie wyszło – tak nawet nie próbują samodzielnego myślenia.
W matematyce bardzo trudno o problemy, nadające się do sensownego podziału pracy. Podobnie trudno, jak o tematy przekładające się na potrzebę aktywności fizycznej w lesie.
Xawer
2 czerwca 2014 at 21:05Aleś fajnie trafiła z tematem!
Najnowszy numer Delty (dziś się ukazał) właśnie ma artykuł o krojeniu równoległoboków:
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/geometria/planimetria/2014/05/31/Polowa_rownolegloboku/
Xawer
2 czerwca 2014 at 21:05Aleś fajnie trafiła z tematem!
Najnowszy numer Delty (dziś się ukazał) właśnie ma artykuł o krojeniu równoległoboków:
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/geometria/planimetria/2014/05/31/Polowa_rownolegloboku/
Mirosława Iwasiewicz
6 czerwca 2014 at 11:52Podoba mi się wypowiedż Roberta z 23 maja (dopiero dołączyłam do Was, więc jestem trochę spóźniona)o współpracy, zwłaszcza „robienie za frekfencję”. Niestety, zwykle tak przebiega praca w grupach, którą tak się zafascynowaliśmy po poprzedniej reformie. Uczyli nas na różnych kursach aktywizujących metod nauczania, które wykorzystywaliśmy nie zawsze zgodnie z ich ideą. Moje doświadczenia nauczycielskie wskazują, że do pracy w zespołach nadają się zadania twórcze, a nie „wyważanie otwartych drzwi”, jak napisał Robert. Kolejny warunek sensowności podzialu klasy to dawanie różnych zadań zespołom. Prezentacja wyników pracy, jeśli pozolimy uczniom wybrać jej formę,ma wówczas szansę zainteresować słuchaczy-widzów. Praca w grupach wymaga też od nauczyciela przygotowania materiałów, bo podanie zadania lub wskazanie stron w podręczniku nie wywoła emocji. Wyjątek może stanowić podanie stron w obszernej lekturze.
Co do kanonu lektur, o czym pisdaliście wcześniej.
Dawno odeszłam od przymuszania uczniow do czytania lektur, a już o sprawdzaniu znajomości treści książki nie ma mowy (niektórzy poloniści wciąż stosują tę formę represji). W podstawówce biorę dzieciaki do czytelni, pozwalam rozkladać sie na dywanie, nawet jeśli układają się obok siebie koedukacyjnie i sama im czytam początek książki lub emocjonujacy fragment. Część słucha z zamknietymi oczami.Po takiej lekcji niektórzy natychmiast wypożyczają książkę, inni nie przeczytają jej nigdy – trudno, albo przeczytają w trakcie omawiania, bo głupio się czują, gdy inni zabierają głos na lekcji.
„Mikołajka” czytałam na głos w klasie. Chwilami sama śmiałam się w głos – zorientowali się, co to humor, bo nie wszyscy załapali. Czytając wskazywałam palcem uczniów do ról pantomimicznych. Bawiliśmy się świetnie.
Gdy widzę, że ktoś czyta pod ławką, pytam, co to za książka, rozmawiamy o niej. I tak zrealizuję to, czego wymaga ode mnie podstawa programowa, przecież zawsze mogę zapytać, kto jest narratorem.
A podstawa programowa jest bardzo dobra, nie wie o tym tylko ten, kto jej nie zna, albo nie rozumie – znacząca większość nauczycieli.
Mirosława Iwasiewicz
6 czerwca 2014 at 11:52Podoba mi się wypowiedż Roberta z 23 maja (dopiero dołączyłam do Was, więc jestem trochę spóźniona)o współpracy, zwłaszcza „robienie za frekfencję”. Niestety, zwykle tak przebiega praca w grupach, którą tak się zafascynowaliśmy po poprzedniej reformie. Uczyli nas na różnych kursach aktywizujących metod nauczania, które wykorzystywaliśmy nie zawsze zgodnie z ich ideą. Moje doświadczenia nauczycielskie wskazują, że do pracy w zespołach nadają się zadania twórcze, a nie „wyważanie otwartych drzwi”, jak napisał Robert. Kolejny warunek sensowności podzialu klasy to dawanie różnych zadań zespołom. Prezentacja wyników pracy, jeśli pozolimy uczniom wybrać jej formę,ma wówczas szansę zainteresować słuchaczy-widzów. Praca w grupach wymaga też od nauczyciela przygotowania materiałów, bo podanie zadania lub wskazanie stron w podręczniku nie wywoła emocji. Wyjątek może stanowić podanie stron w obszernej lekturze.
Co do kanonu lektur, o czym pisdaliście wcześniej.
Dawno odeszłam od przymuszania uczniow do czytania lektur, a już o sprawdzaniu znajomości treści książki nie ma mowy (niektórzy poloniści wciąż stosują tę formę represji). W podstawówce biorę dzieciaki do czytelni, pozwalam rozkladać sie na dywanie, nawet jeśli układają się obok siebie koedukacyjnie i sama im czytam początek książki lub emocjonujacy fragment. Część słucha z zamknietymi oczami.Po takiej lekcji niektórzy natychmiast wypożyczają książkę, inni nie przeczytają jej nigdy – trudno, albo przeczytają w trakcie omawiania, bo głupio się czują, gdy inni zabierają głos na lekcji.
„Mikołajka” czytałam na głos w klasie. Chwilami sama śmiałam się w głos – zorientowali się, co to humor, bo nie wszyscy załapali. Czytając wskazywałam palcem uczniów do ról pantomimicznych. Bawiliśmy się świetnie.
Gdy widzę, że ktoś czyta pod ławką, pytam, co to za książka, rozmawiamy o niej. I tak zrealizuję to, czego wymaga ode mnie podstawa programowa, przecież zawsze mogę zapytać, kto jest narratorem.
A podstawa programowa jest bardzo dobra, nie wie o tym tylko ten, kto jej nie zna, albo nie rozumie – znacząca większość nauczycieli.
Paweł Kasprzak
12 czerwca 2014 at 19:58Ksawery i Andy – to świetne zadanie na test, daję słowo! Test skonstruowany w ten sposób mógłby być coś wart. Sprawdziłem – kurczę, trzeba by to zrobić z formalnymi rygorami naukowymi, spróbuję kogoś naciągnąć. Zadałem zadanie w dwóch grupach dzieci oraz w przypadkowo dobranej i nielicznej gromadzie nauczycieli.
Treść zadania była taka: przekątna AC równoległoboku ABCD ma długość x, a odległość wierzchołka B od przekątnej AC wynosi y. Oblicz pole równoległoboku.
Na 18 uczniów II licealnej klasy mat-fiz, zaledwie jeden podał odpowiedź wg Waszego pomysłu. Wszyscy pozostali próbowali policzyć długość podstawy i wysokość. Przy czym niektórzy wykazywali się niezłą pomysłowością, inni grzebali się w bezsensownych rachunkach. Drugą grupę stanowiły dzieci z gimnazjum w mojej okolicy – matematyczni analfabeci. Ponad połowa z szesnastoosobowej grupy w ogóle nie podjęła zadania, nie rozumiejąc na przykład, co to jest odległość punktu od odcinka. Z pozostałych siedmiu osób dwie wiedziały, jakie jest pole trójkąta – co mnie zszokowało, bo ich o to nie podejrzewałem 🙂 Pozostała piątka doszła do wniosku, że chodzi o dwa trójkąty, których pole chyba da się policzyć z tych danych, ale oni nie wiedzą jak.
Po raz kolejny wychodzi na to, że im gorszy uczeń, tym lepiej kombinuje. Zachowanie uczniów mat-fiz było tym bardziej szokujące, że przecież treść zadania zawiera bardzo wyraźną sugestię. Wszyscy narysowali ten równoległobok – a rozwiązanie po prostu widać. Wryte w mózg definicje okazują się silniejsze. W grupie nauczycieli, większość z uśmiechem odmówiła udziału mrucząc coś o głupotach. Ci, którzy nie odmówili, bez wyjątku próbowali policzyć wysokość…
Acha – wszyscy „pracowali indywidualnie” 🙂
monikasz
12 czerwca 2014 at 20:54Oczywiście zaraz przeprowadziłam eksperyment na dziecku :). Nie wiedział, co to odległość między punktem a odcinkiem, ale informacja, że jest to „najmniejsza odległość” wystarczyła. Przy czym w szkole właśnie męczą te trapezy i równoległoboki, się nawet dzisiaj dowiedzieliśmy, że pani podała do zapisania wzór na obwód trapezu. Biedne dzieci, te, którym zależy, zapewne uczą się potem tego wzoru na blaszkę. Faktycznie już chyba lepiej by było sobie w ogóle darować…
Paweł Kasprzak
14 czerwca 2014 at 19:23No, właśnie – darować sobie, otóż to. Ciekawe jest to, że nikt z próbujących policzyć „według wzoru” nie zadał sobie trudu, żeby spostrzec, że w odróżnieniu od prostokąta o bokach a i b, równoległobok dany przez a i h (podstawę i wysokość) nie jest przecież jednoznacznie określony, podobnie jak równoległobok określony przez Ksawerego i Andy’ego przekątną i odlegością od niej wierzchołka.
Euklides Euklidesem, ale mnie na przykład tata nauczył, żeby przed rozwiązaniem jakiegokolwiek problemu pomyśleć, czy szukana wielkość jest rzeczywiście zdeterminowana tymi, które znam. Biedaki szukały tej wysokości, a kiedy im zaczynało świtać, że one mogą być różne, to im opadały ręce.
Ach, jak ja bym chętnie dorwał panią, która podaje do zapisania wzór na obwód trapezu 🙂
Paweł Kasprzak
12 czerwca 2014 at 19:58Ksawery i Andy – to świetne zadanie na test, daję słowo! Test skonstruowany w ten sposób mógłby być coś wart. Sprawdziłem – kurczę, trzeba by to zrobić z formalnymi rygorami naukowymi, spróbuję kogoś naciągnąć. Zadałem zadanie w dwóch grupach dzieci oraz w przypadkowo dobranej i nielicznej gromadzie nauczycieli.
Treść zadania była taka: przekątna AC równoległoboku ABCD ma długość x, a odległość wierzchołka B od przekątnej AC wynosi y. Oblicz pole równoległoboku.
Na 18 uczniów II licealnej klasy mat-fiz, zaledwie jeden podał odpowiedź wg Waszego pomysłu. Wszyscy pozostali próbowali policzyć długość podstawy i wysokość. Przy czym niektórzy wykazywali się niezłą pomysłowością, inni grzebali się w bezsensownych rachunkach. Drugą grupę stanowiły dzieci z gimnazjum w mojej okolicy – matematyczni analfabeci. Ponad połowa z szesnastoosobowej grupy w ogóle nie podjęła zadania, nie rozumiejąc na przykład, co to jest odległość punktu od odcinka. Z pozostałych siedmiu osób dwie wiedziały, jakie jest pole trójkąta – co mnie zszokowało, bo ich o to nie podejrzewałem 🙂 Pozostała piątka doszła do wniosku, że chodzi o dwa trójkąty, których pole chyba da się policzyć z tych danych, ale oni nie wiedzą jak.
Po raz kolejny wychodzi na to, że im gorszy uczeń, tym lepiej kombinuje. Zachowanie uczniów mat-fiz było tym bardziej szokujące, że przecież treść zadania zawiera bardzo wyraźną sugestię. Wszyscy narysowali ten równoległobok – a rozwiązanie po prostu widać. Wryte w mózg definicje okazują się silniejsze. W grupie nauczycieli, większość z uśmiechem odmówiła udziału mrucząc coś o głupotach. Ci, którzy nie odmówili, bez wyjątku próbowali policzyć wysokość…
Acha – wszyscy „pracowali indywidualnie” 🙂
monikasz
12 czerwca 2014 at 20:54Oczywiście zaraz przeprowadziłam eksperyment na dziecku :). Nie wiedział, co to odległość między punktem a odcinkiem, ale informacja, że jest to „najmniejsza odległość” wystarczyła. Przy czym w szkole właśnie męczą te trapezy i równoległoboki, się nawet dzisiaj dowiedzieliśmy, że pani podała do zapisania wzór na obwód trapezu. Biedne dzieci, te, którym zależy, zapewne uczą się potem tego wzoru na blaszkę. Faktycznie już chyba lepiej by było sobie w ogóle darować…
Paweł Kasprzak
14 czerwca 2014 at 19:23No, właśnie – darować sobie, otóż to. Ciekawe jest to, że nikt z próbujących policzyć „według wzoru” nie zadał sobie trudu, żeby spostrzec, że w odróżnieniu od prostokąta o bokach a i b, równoległobok dany przez a i h (podstawę i wysokość) nie jest przecież jednoznacznie określony, podobnie jak równoległobok określony przez Ksawerego i Andy’ego przekątną i odlegością od niej wierzchołka.
Euklides Euklidesem, ale mnie na przykład tata nauczył, żeby przed rozwiązaniem jakiegokolwiek problemu pomyśleć, czy szukana wielkość jest rzeczywiście zdeterminowana tymi, które znam. Biedaki szukały tej wysokości, a kiedy im zaczynało świtać, że one mogą być różne, to im opadały ręce.
Ach, jak ja bym chętnie dorwał panią, która podaje do zapisania wzór na obwód trapezu 🙂
Xawer
12 czerwca 2014 at 22:05Fajne dostałeś te odpowiedzi… Skutek szkoły i programu Semadeniego.
W ostatecznym teście bym jeszcze ułatwił, że chodzi o długą przekątną.
Z krótką mój wzór oczywiście też działa, ale krojenie jest mniej oczywiste.
Moje wielkie uznanie dla Twoich wiejskich gimnazjalistów! Też bym się po nich nie spodziewał znajomości „wzoru na trójkąt”…. Ale zaskoczyła mnie ta piątka, która wprawdzie nie umiała policzyć trójkąta, ale wpadła, że takie uproszczenie problemu powinno pomóc.
Twoja obserwacja „im gorszy uczeń, tym lepiej kombinuje” sprawdza się niestety również w drugą stronę. Im bardziej (i lepiej) kombinuje, tym gorsze dostaje oceny. Niedawno zajmowałem się zamiast uczeniem, to pocieszaniem po oblanym sprawdzianie — oblanym za podanie rozwiązania poprawnego, ale innego, niż podręcznik każe.
Ja znów, jak Katon wrócę do Euklidesa: albo trzeba go uczyć porządnie, jak sto, pięćset i dwa tysiące lat temu, albo zapomnieć, i dać mu spokój — ale nie kastrować go do wzoru na pole trapezu i konstrukcji okręgu opisanego na trójkącie.
Proof
13 czerwca 2014 at 17:56Ksawery,
nie zawsze jest to „razy odległość punktu B od tej przekątnej AC”.
bywa, że „razy odległość punktu B od PROSTEJ AC” (podaj odpowiedni przykład).
Xawer
12 czerwca 2014 at 22:05Fajne dostałeś te odpowiedzi… Skutek szkoły i programu Semadeniego.
W ostatecznym teście bym jeszcze ułatwił, że chodzi o długą przekątną.
Z krótką mój wzór oczywiście też działa, ale krojenie jest mniej oczywiste.
Moje wielkie uznanie dla Twoich wiejskich gimnazjalistów! Też bym się po nich nie spodziewał znajomości „wzoru na trójkąt”…. Ale zaskoczyła mnie ta piątka, która wprawdzie nie umiała policzyć trójkąta, ale wpadła, że takie uproszczenie problemu powinno pomóc.
Twoja obserwacja „im gorszy uczeń, tym lepiej kombinuje” sprawdza się niestety również w drugą stronę. Im bardziej (i lepiej) kombinuje, tym gorsze dostaje oceny. Niedawno zajmowałem się zamiast uczeniem, to pocieszaniem po oblanym sprawdzianie — oblanym za podanie rozwiązania poprawnego, ale innego, niż podręcznik każe.
Ja znów, jak Katon wrócę do Euklidesa: albo trzeba go uczyć porządnie, jak sto, pięćset i dwa tysiące lat temu, albo zapomnieć, i dać mu spokój — ale nie kastrować go do wzoru na pole trapezu i konstrukcji okręgu opisanego na trójkącie.
Proof
13 czerwca 2014 at 17:56Ksawery,
nie zawsze jest to „razy odległość punktu B od tej przekątnej AC”.
bywa, że „razy odległość punktu B od PROSTEJ AC” (podaj odpowiedni przykład).
Xawer
14 czerwca 2014 at 20:21Przeprowadziłem tym zadaniem test na grupie dorosłych: pięcioro z mojego pokolenia (jeden inżynier, reszta to humaniści) i dwoje studentów (medycyna i świeżo obroniony magister SGH).
Dostałem jedną odpowiedź odmowną (nie do zacytowania 😉 ) i cztery poprawnie liczące z trójkątów.
Dwie pozostałe, to:
— 60-letniej tłumaczce pomyliło się, że pole trójkąta to $a\cdot h$, a nie połowa tego, więc na koniec wyszło jej dwa razy za dużo. Wyraźnie przez te 40 lat od zdania matury wzór na pole trójkąta nie był dla niej kluczową kompetencją;
— absolwent SGH zagrzebał się w rachunkach, mających wyliczyć wysokość tego równoległoboku, nawet jakiś sinus i cosinus się w nich pojawiły (całkiem z sensem), ale po kilku minutach zrezygnował z rozwikłania tej trygonometrii.
Odpytałem też trzech wiejskich pijaczków, ciągnących piwo przed sklepem. Ale ci odpadli od zadania mimo motywacji w postaci butelki piwa na głowę i życzliwości, jaką mają dla mnie — znają mnie jako dziwaka, który czasem postawi im piwo, wypije z nimi i pogada o czymś nieziemskim. Nie pomogło ani wytłumaczenie, co to jest równoległobok, ani narysowanie go patykiem na ziemi, ani nawet dopuszczenie pracy zespołowej i burzy mózgów. Burzy prawdziwej, bo nad nami wisiał i pomrukiwał już cumulonimbus.
Już samo pojęcie pola powierzchni było poza ich zasięgiem pojęciowym — tylko jeden miał na ten temat jakiekolwiek sensowne wyobrażenie, dwaj inni to tyle, że hektar to spłachetek pola, a duży dom ma więcej $m^2$ niż mały.
Menel z „Matura to bzdura”, odpowiadający zgodnie ze zdroworozsądkowym sensem, zamiast klepać formułki i wychodzący na dużo lepiej wyedukowanego od gimnazjalistów, chyba jednak został wyreżyserowany…
W każdym razie moi wiejscy pijaczkowie wypadli nie lepiej (ale zbyt mała próba, by uznać, że gorzej) od Pawła wiejskich gimnazjalistów.
Właśnie: mojego studenta oraz Pawłowych licealistów i nauczycieli, którzy usiłowali wyliczać wysokość równoległoboku i jego podstawę, warto byłoby zapytać, czy aby są one jednoznacznie określone poprzez dane w zadaniu długości?
A jaki jest „wzór na obwód trapezu”? Co szkoła wymyśliła, a dziecię zapisało w kajecie?
Suma długości wszystkich boków?
Jak fajnie (i jakie to rozbudowujące naszą wiedzę), że trzeba się nauczyć niezależnie wzoru na obwód trapezu i na obwód dowolnego wielokąta…
Paweł Kasprzak
15 czerwca 2014 at 09:01No, więc to jest właśnie przykład na to, że nawet kompletnych dupereli można „uczyć” z sensem albo bez sensu, a to drugie jest dewastujące. W przypadku tych konkretnych równoległoboków, uczeń, który wie, że wysokość to ah, najwyraźniej nigdy nie zadał sobie (w myślach lub przy pomocy szkiców) pytania, czy każny równoległobok o bokach a i b ma tę samą powierzchnię i jak ona się zmienia, kiedy się kąt pomiędzy a i b zaostrza. A to wcale nie jest oczywiste przy małych zmianach kąta i trzeba sytuację doprowadzić do ekstremum zaostrzając ten kąt tak, że się w końcu b kładzie na a, równoległobok znika i powierznia staje się zerem. Albo, żeby utrzymać stałą wysokość h, trzeba bok b wydłużać, kiedy się kąt ab zaostrza. Jeszcze fajniej wygląda rodzina odpowiednich równoległoboków dana przekątną i wysokością trójkątów.
Ten przykład jest moim zdaniem kapitalny – m.in. przez natychmiastowość odpowiedzi (pole to xy) skontrastowaną z potwornie skomplikowanymi (co z tego, że nieskutecznymi) obliczeniami, by rzecz doprowadzić do postaci znanej (i nierozumianej) ze szkoły. Niektórzy licealiści, których przepytywałem (tylko jeden powiedział xy i popatrzył na mnie jak na idiotę) kombinowali nawet bardzo sprytnie, usiłując znaleźć wysokość (nie do znalezienia), a kiedy się w końcu poddawali, zdając sobie wreszcie sprawę z faktu, że równoległobok określony w ten sposób, nie jest jednak określony jednoznacznie i wysokości mogą być różne (byliby w stanie powiedzieć, w jakich granicach, gdyby się tak z nimi bawić dalej), to się pojawił dysonans poznawczy: jakże to tak, przecież pole musi się dać jednak wyliczyć. To był bardzo zabawny moment – przecież widzieli już te dwa trójkąty i powinni wiedzieć, „jaki jest wzór” na ich pole, ale tak byli zafiksowani na ah, że nie byli w stanie tego wyartykułować.
Wszystko to – co moim zdaniem trzeba bardzo mocno podkreślić – byli ludzie normalnie myślący i z całą pewnością ten trywialny problem leży całkowicie w ich zasięgu. Właśnie szkolny schematyzm i obowiązkowe bezmyślenie tak na nich działa. Nauczyciele w moim doświadczeniu zachowywali się już szczególnie głupio – to najwyraźniej dlatego, że szkolne schematy mają w największym stopniu zinternalizowane, by się wyrazić elegancko. Bo mówiąc wprost należy powiedzieć, że oni te schematy mają wryte w mózg.
Moim zdaniem warto w zestaw podobnych zadań / problemów zainwestować i przebadać na dobrze kontrolowanej próbie ludzkie zachowania. Intuicję miałbym taką, jak to wyszło w moim własnym rozeznaniu: im więcej szkoły, tym gorzej z myśleniem. Problem z równoległobokiem jest o tyle ciekawy, że można takimi problemami rzeczywiście sprawdzić, czy dzieci myślą. Trzeba do tego znać „wyniki testu” nie w takiej postaci, jak je PISA i TIMMS podają, ale jak to np. Mirosław Dąbrowski bada, analizując przede wszystkim treść błędnych rozwiązań. Moim zdaniem warto byłoby również rzeczywiście posadzić nad tym samym testem również nauczycieli – wynik, który bym tu przewidywał, pokazałnby przemożny mechanizm utrwalania całej kultury bezmyślności.
Popatrz przy okazji – tym razem przecież nie jest to dygresja, jakich tu wiele. Taka, która odchodzi od oryginalnego tematu wpisu. Jesteśmy w temacie. A równocześnie jakby zupełnie poza nim. Danusi świetne końcowe pytanie „do jakiej szkoły oni chodzili?” ja bym uzupełnił pytaniem „o jaką szkołę nam chodzi?”
monikasz
15 czerwca 2014 at 10:05Z ciekawości zajrzałam do kajecika, bodaj po raz pierwszy. I rzeczywiście, to, z czego sobie beztrosko żartowaliśmy przy obiedzie, okazało się prawdą… Zebrane w jednym miejscu, w ramkach, mamy wzory na obwody: kwadratu, prostokąta, trójkąta oraz trapezu. I naprawdę wypada współczuć dzieciom, które się grzecznie uczą, zapewne są takie :(.
Z drugiej strony, miałam do czynienia z tymi dzieciakami i chyba trochę rozumiem, skąd taki idiotyzm się bierze. Otóż po sześciu już prawie latach nauki, te dzieci wręcz żądają podania im jasnego algorytmu działania. Wtedy z podniesionym czołem brną w rachunki, niezależnie od tego, że wszystko im się miesza, liczyć właściwie nie potrafią, a do wyników podchodzą absolutnie bezkrytycznie. Bardzo mi się podobają analizy pana Dąbrowskiego, on ładnie pokazuje, jak to wygląda już u trzecioklasistów. Więc pani, przyciśnięta programem, planem i wynikami egzaminu za rok, tym żądaniom ulega.
Z drugiej strony (czy też trzeciej) nawet najlżejsza sugestia, że teraz pojawi się coś, co będzie wymagało pomyślenia/refleksji/skupienia skutkuje natychmiastową ucieczką. Paweł ma znakomite doświadczenia z gimnazjalistami, jak rozumiem, chłopcami w dodatku. Tutaj mamy prawie same dziewczynki, co je potrafi wkręcić, to zabawa w sklep. Ale pod warunkiem, że nie proszę o policzenie mi należności za pół kilo sera i jeszcze wydanie reszty. Fajnie jest tylko przeglądać reklamowe gazetki i planować zakupy. A należność policzy kasa. Sama.
monikasz
15 czerwca 2014 at 11:06I dla dopełnienia obrazu. Dzieci są sympatyczne, bystre i jak na dzisiejsze czasy dobrze wychowane. Pani jest również miła i pełna dobrej woli, na swojej i moich dzieci drodze spotkałam wielu gorszych belfrów. Z tego co wiem, dzieciakom zaszkodziły bardziej lata wczesnoszkolnej edukacji. A obawiam się, że w gimnazjum będzie raczej gorzej…
Robert Raczyński
15 czerwca 2014 at 12:04„…dzieci wręcz żądają podania im jasnego algorytmu działania.” – Nie tylko w matematyce, oczywiście. Wszechobecne testowanie, nacisk na klucz dyktujący jedynie słuszny wynik, przy jednoczesnym kulcie przeciętniactwa, powodują, że dzieciaki szukają drogi na skróty, a tą często wydają im się ostatnie strony podręczników, gdzie pozornie jasno podawane jest kompendium wiedzy z całego roku szkolnego. Są ogromnie rozczarowane, kiedy okazuje się, że samo odnalezienie informacji (ogromny sukces, niedostępny dla sporej części z nich) nie rozwiązuje problemu. Decydentom edukacji od dawna myli się dostępność informacji z ich zastosowaniem. Okazuje się, że „umiejętności” (jeśli w ogóle nabyte) nie mogą zastąpić asocjacji i wiedzy. Łopatologia stosowana, na dodatek nie egzekwowana (przynajmniej w „moim” przedmiocie – łatwo tu porównać kartotekę egzaminu gimnazjalnego z zawartością w/w „kompendiów”), którą narzuca ustawiczne równanie w dół, nie daje szans na sukces.
Wszyscy latami przyzwyczajani do algorytmu
„wygugluj>skopiuj>wyryjnablachę>powiedzwierszyk>dygnij>powtórzprocedurę”, po jego wykonaniu, nadal nie są w stanie odróżnić present perfect od past simple, bo algorytm ten nie zawiera instrukcji „przemyśl>zadajpytanie>zbudujhipotezę>zweryfikuj>powtórzjeślikonieczne”. Niektórym, zdolnym jeszcze do refleksji mimo szkolnego otępienia, pomaga postawienie tezy: „Istnieją takie czynności, które nie mają skutków”. I cud prawdziwy, ku zaskoczeniu zakładających, że przeciętne IQ nie pozwala na zadania wymagające myślenia, okazuje się, że można połączyć gramatykę z fizyką, czyli z życiem.
Niestety, edukacja skażona jest ideologią, czymś w rodzaju założenia, że wyższe czynności umysłowe są pojęciem klasowym i podobnie jak dobra materialne powinny zostać „znacjonalizowane” i rozdrobnione na łatwo przyswajalną papkę, tak żeby inteligentni inaczej też mogli być magistrami. Czym takie podejście skończyło się w przypadku własności wszyscy wiemy, miejmy nadzieję, że podobnie będzie z edukacją, choć nie sądzę, żeby to stało się szybko. Wszyscy zdolni do myślenia (czyli zdecydowana większość) powinni kiedyś zorientować się, że gotowych algorytmów nie potrzebują, bo mogą tworzyć je sami.
Paweł Kasprzak
15 czerwca 2014 at 13:07No, więc właśnie nie tylko z chłopcami. Miałem nadreprezntację chłopców, fakt, bo mi ze szkoły dawano na zajęcia dzieci szczególnie trudne, a dziewczynki są grzeczniejsze – jeśli mi oczywiście wolno takie generalizacje czynić bez narażenia się na oskarżenia o rozmaite rzeczy nikczemne i seksistowskie.
Fakt, dzieci się domagają jasnych algorytmów itd. Co więcej, ja bym nad tym łatwo nie przechodził do porządku, konstatując, że to tylko szkoła powoduje takie oczekiwania, bo do algorytmów przyzwyczaja. To jest oczywiście prawda, szkoła to robi. Natomiast może być również prawdą, że niezależnie od tego dzieci takich rzeczy oczekują i to wcale nie dlatego, że tak im się wydaje łatwiej. To może być jakieś naturalne zjawisko – w końcu np. efektywnie posługujemy się komputerami, nie wiedząc przecież, jak zrozumieć komputer poczynając od działania tranzystorowej bramki z jednej strony, a od maszyny Turinga z drugiej. Wcale nie chcemy rozumieć wszystkiego. Ale dopóki jesteśmy w szkole – podstawowej i ogólnokształcącej – rozumienie jest tym, czego powinniśmy szukać. Szkolne programy przeglądane z tego punktu widzenia, w ogromnej większości okażą się do wyrzucenia i reguły OK nie wniosą tu wiele. Niektóre mogą w niektórych przypadkach szkodzić.
Ucieczka na myśl, że za chwilę trzeba będzie myśleć. To jest prawda, wiele razy to widziałem i to jest problem centralny. Zjawisko ma chyba wiele przyczyn. Jest na pewno kształtowane kulturowo – bardzo silnie i zabawa w sklep z reklamowymi gazetkami dobrze pokazuje jeden z wymiarów. Jest też ta ucieczka produktem szkoły, gdzie skupienie oznacza to, co oznacza. Być może to jest również w jakimś stopniu naturalne, że dzieci nie chcą rozumieć wszystkiego, że wolą czegoś właśnie nie rozumieć.
Mam kilka strategii. Jedną z nich jest np. pokazać, że myślenie jest opłacalne dla lenia. Ale naprawdę wartość myślenia da się pokazać wtedy, kiedy ono się staje fajne samo dla siebie, a tu na przykład paradoksalne dowody i odkrywanie rzeczy nieintuicyjnych sprawdzają się świetnie. Dziewczyny wkręcałem rozmaitymi love stories na przykład. Albo religią. Nie ma siły – prędzej, czy później dochodziło do pytania, czym one się właściwie same różnią od stołu, przy którym siedzą. Na czym polega ich własne myślenie. Ale nie wszystkie przykłady myślenia/refleksji/skupienia są jednakowo wartościowe i nie wszystkie się nadają.
Przy okazji – gender studies – z dziewczętami, które się bawią w sklep, jest chyba tak, że one są na ogół szczerze i dość przerażająco przekonane, że właśnie nie myślą. Ich samowiedza jest tego rodzaju – myślenie jest im obce, męczące, nie dla nich, one się lepiej czują bez niego i to jest dla nich bardziej naturalne. Tylko szkoła wymaga od nich myślenia. Życie nie. Więc strategią dla dziewczyn jest budowa samowiedzy – pokazywanie im, że myślą, i to nawet nieźle.
Ale problem jest w sklepie właśnie i w naszych własnych przeświadczeniach. Mnie się wydaje, że próby skłonienia bawiących się w sklep dziewczynek do obliczania należności to ślepy zaułek. Owszem, to wymaga myślenia, ale może lepiej niech rzeczywiście kasa to robi, bo to nie jest ciekawe myślenie. Znaleźć coś innego, naprawdę ciekawego – to jest cholernie trudne, zwłaszcza, kiedy się trzeba zmagać z analfabetyzmem dzieci lub ich kompletnym obezwładnieniem reklamówkami. I szkołą.
Ze swoimi gimnazjalistami miałem kiedyś zdumiewającą przygodę. Grupa była już jako tako rozruszana i ja postanowiłem spróbować wkręcić chłopców w zagadnienie, czy da się zbudować myślącą maszynę – żeby chociaż chcieli poczytać trochę fantastyki. Skończyło się to dla mnie dramatycznie, bo mi się udało aż tak dobrze, że musiałem z nimi dojść aż do twierdzenia Goedla, co było wtedy zdecydowanie ponad mój własny poziom. Ale się okazało, że taki pomysł, że maszyna może myśleć, czuć itd. bardzo żywo dotknął zwłaszcza jedną z dziewczyn – która równocześnie, zgodnie ze stereotypem, absolutnie odmawiała zainteresowania czymkolwiek w rodzaju liczb, abstrakcji, ale też i użytecznych (np. w sklepie) narzędzi mentalnych. Pokazałem im alborytm działający na planszy, gdzie przy pomocy przesuwanych odpowiednio pionków wykonywało się obliczenia. Zrozumienie tych obliczeń wymagało od dzieciaków sporego wysiłku, a kiedy zrozumiały, spostrzeżenie, że bezrozumny algorytm jest tu skuteczny (bardziej niż one i w jakimś sensie bardziej „rozumiejący”), podziałało to na nie bardzo silnie i sprowokowało całe mnóstwo pytań o to, co jeszcze da się w ten sposób zaprojektować i czy ludzkie myślenie właśnie na takim przesuwaniu pionków polega. Dziewczyny były tym bardziej poruszone niż chłopcy. Ta konkretna dziewczyna swoim zwyczajem odmówiła uwagi przy wykonywaniu i potem analizie tego algorytmu, ale kiedy dotarło do niej, że te pionki liczą, żądała od pozostałych, żeby wyjaśnili, w jaki sposób, bardzo tym wszystkim podekscytowana. Oczywiście, że pojęła bez trudu, a skoro już pojęła, to wkręciła się po same uszy.
Jeden z chłopców nie przespał wtedy nocy i nazajutrz pojawił się z wystruganym z drewna działającym modelem maszyny liczącej w systemie dwójkowym. Ja chciałem to modelować z nimi w komputerze, a on to zrobił z drewna. Czym uwiódł tę dziewczynę zresztą. Są do dzisiaj parą. Nauki nie kontynuują, ale ile razy ich widzę, pytają o jakieś książki, jak jacyś nienormalni.
Xawer
14 czerwca 2014 at 20:21Przeprowadziłem tym zadaniem test na grupie dorosłych: pięcioro z mojego pokolenia (jeden inżynier, reszta to humaniści) i dwoje studentów (medycyna i świeżo obroniony magister SGH).
Dostałem jedną odpowiedź odmowną (nie do zacytowania 😉 ) i cztery poprawnie liczące z trójkątów.
Dwie pozostałe, to:
— 60-letniej tłumaczce pomyliło się, że pole trójkąta to $a\cdot h$, a nie połowa tego, więc na koniec wyszło jej dwa razy za dużo. Wyraźnie przez te 40 lat od zdania matury wzór na pole trójkąta nie był dla niej kluczową kompetencją;
— absolwent SGH zagrzebał się w rachunkach, mających wyliczyć wysokość tego równoległoboku, nawet jakiś sinus i cosinus się w nich pojawiły (całkiem z sensem), ale po kilku minutach zrezygnował z rozwikłania tej trygonometrii.
Odpytałem też trzech wiejskich pijaczków, ciągnących piwo przed sklepem. Ale ci odpadli od zadania mimo motywacji w postaci butelki piwa na głowę i życzliwości, jaką mają dla mnie — znają mnie jako dziwaka, który czasem postawi im piwo, wypije z nimi i pogada o czymś nieziemskim. Nie pomogło ani wytłumaczenie, co to jest równoległobok, ani narysowanie go patykiem na ziemi, ani nawet dopuszczenie pracy zespołowej i burzy mózgów. Burzy prawdziwej, bo nad nami wisiał i pomrukiwał już cumulonimbus.
Już samo pojęcie pola powierzchni było poza ich zasięgiem pojęciowym — tylko jeden miał na ten temat jakiekolwiek sensowne wyobrażenie, dwaj inni to tyle, że hektar to spłachetek pola, a duży dom ma więcej $m^2$ niż mały.
Menel z „Matura to bzdura”, odpowiadający zgodnie ze zdroworozsądkowym sensem, zamiast klepać formułki i wychodzący na dużo lepiej wyedukowanego od gimnazjalistów, chyba jednak został wyreżyserowany…
W każdym razie moi wiejscy pijaczkowie wypadli nie lepiej (ale zbyt mała próba, by uznać, że gorzej) od Pawła wiejskich gimnazjalistów.
Właśnie: mojego studenta oraz Pawłowych licealistów i nauczycieli, którzy usiłowali wyliczać wysokość równoległoboku i jego podstawę, warto byłoby zapytać, czy aby są one jednoznacznie określone poprzez dane w zadaniu długości?
A jaki jest „wzór na obwód trapezu”? Co szkoła wymyśliła, a dziecię zapisało w kajecie?
Suma długości wszystkich boków?
Jak fajnie (i jakie to rozbudowujące naszą wiedzę), że trzeba się nauczyć niezależnie wzoru na obwód trapezu i na obwód dowolnego wielokąta…
Paweł Kasprzak
15 czerwca 2014 at 09:01No, więc to jest właśnie przykład na to, że nawet kompletnych dupereli można „uczyć” z sensem albo bez sensu, a to drugie jest dewastujące. W przypadku tych konkretnych równoległoboków, uczeń, który wie, że wysokość to ah, najwyraźniej nigdy nie zadał sobie (w myślach lub przy pomocy szkiców) pytania, czy każny równoległobok o bokach a i b ma tę samą powierzchnię i jak ona się zmienia, kiedy się kąt pomiędzy a i b zaostrza. A to wcale nie jest oczywiste przy małych zmianach kąta i trzeba sytuację doprowadzić do ekstremum zaostrzając ten kąt tak, że się w końcu b kładzie na a, równoległobok znika i powierznia staje się zerem. Albo, żeby utrzymać stałą wysokość h, trzeba bok b wydłużać, kiedy się kąt ab zaostrza. Jeszcze fajniej wygląda rodzina odpowiednich równoległoboków dana przekątną i wysokością trójkątów.
Ten przykład jest moim zdaniem kapitalny – m.in. przez natychmiastowość odpowiedzi (pole to xy) skontrastowaną z potwornie skomplikowanymi (co z tego, że nieskutecznymi) obliczeniami, by rzecz doprowadzić do postaci znanej (i nierozumianej) ze szkoły. Niektórzy licealiści, których przepytywałem (tylko jeden powiedział xy i popatrzył na mnie jak na idiotę) kombinowali nawet bardzo sprytnie, usiłując znaleźć wysokość (nie do znalezienia), a kiedy się w końcu poddawali, zdając sobie wreszcie sprawę z faktu, że równoległobok określony w ten sposób, nie jest jednak określony jednoznacznie i wysokości mogą być różne (byliby w stanie powiedzieć, w jakich granicach, gdyby się tak z nimi bawić dalej), to się pojawił dysonans poznawczy: jakże to tak, przecież pole musi się dać jednak wyliczyć. To był bardzo zabawny moment – przecież widzieli już te dwa trójkąty i powinni wiedzieć, „jaki jest wzór” na ich pole, ale tak byli zafiksowani na ah, że nie byli w stanie tego wyartykułować.
Wszystko to – co moim zdaniem trzeba bardzo mocno podkreślić – byli ludzie normalnie myślący i z całą pewnością ten trywialny problem leży całkowicie w ich zasięgu. Właśnie szkolny schematyzm i obowiązkowe bezmyślenie tak na nich działa. Nauczyciele w moim doświadczeniu zachowywali się już szczególnie głupio – to najwyraźniej dlatego, że szkolne schematy mają w największym stopniu zinternalizowane, by się wyrazić elegancko. Bo mówiąc wprost należy powiedzieć, że oni te schematy mają wryte w mózg.
Moim zdaniem warto w zestaw podobnych zadań / problemów zainwestować i przebadać na dobrze kontrolowanej próbie ludzkie zachowania. Intuicję miałbym taką, jak to wyszło w moim własnym rozeznaniu: im więcej szkoły, tym gorzej z myśleniem. Problem z równoległobokiem jest o tyle ciekawy, że można takimi problemami rzeczywiście sprawdzić, czy dzieci myślą. Trzeba do tego znać „wyniki testu” nie w takiej postaci, jak je PISA i TIMMS podają, ale jak to np. Mirosław Dąbrowski bada, analizując przede wszystkim treść błędnych rozwiązań. Moim zdaniem warto byłoby również rzeczywiście posadzić nad tym samym testem również nauczycieli – wynik, który bym tu przewidywał, pokazałnby przemożny mechanizm utrwalania całej kultury bezmyślności.
Popatrz przy okazji – tym razem przecież nie jest to dygresja, jakich tu wiele. Taka, która odchodzi od oryginalnego tematu wpisu. Jesteśmy w temacie. A równocześnie jakby zupełnie poza nim. Danusi świetne końcowe pytanie „do jakiej szkoły oni chodzili?” ja bym uzupełnił pytaniem „o jaką szkołę nam chodzi?”
monikasz
15 czerwca 2014 at 10:05Z ciekawości zajrzałam do kajecika, bodaj po raz pierwszy. I rzeczywiście, to, z czego sobie beztrosko żartowaliśmy przy obiedzie, okazało się prawdą… Zebrane w jednym miejscu, w ramkach, mamy wzory na obwody: kwadratu, prostokąta, trójkąta oraz trapezu. I naprawdę wypada współczuć dzieciom, które się grzecznie uczą, zapewne są takie :(.
Z drugiej strony, miałam do czynienia z tymi dzieciakami i chyba trochę rozumiem, skąd taki idiotyzm się bierze. Otóż po sześciu już prawie latach nauki, te dzieci wręcz żądają podania im jasnego algorytmu działania. Wtedy z podniesionym czołem brną w rachunki, niezależnie od tego, że wszystko im się miesza, liczyć właściwie nie potrafią, a do wyników podchodzą absolutnie bezkrytycznie. Bardzo mi się podobają analizy pana Dąbrowskiego, on ładnie pokazuje, jak to wygląda już u trzecioklasistów. Więc pani, przyciśnięta programem, planem i wynikami egzaminu za rok, tym żądaniom ulega.
Z drugiej strony (czy też trzeciej) nawet najlżejsza sugestia, że teraz pojawi się coś, co będzie wymagało pomyślenia/refleksji/skupienia skutkuje natychmiastową ucieczką. Paweł ma znakomite doświadczenia z gimnazjalistami, jak rozumiem, chłopcami w dodatku. Tutaj mamy prawie same dziewczynki, co je potrafi wkręcić, to zabawa w sklep. Ale pod warunkiem, że nie proszę o policzenie mi należności za pół kilo sera i jeszcze wydanie reszty. Fajnie jest tylko przeglądać reklamowe gazetki i planować zakupy. A należność policzy kasa. Sama.
monikasz
15 czerwca 2014 at 11:06I dla dopełnienia obrazu. Dzieci są sympatyczne, bystre i jak na dzisiejsze czasy dobrze wychowane. Pani jest również miła i pełna dobrej woli, na swojej i moich dzieci drodze spotkałam wielu gorszych belfrów. Z tego co wiem, dzieciakom zaszkodziły bardziej lata wczesnoszkolnej edukacji. A obawiam się, że w gimnazjum będzie raczej gorzej…
Robert Raczyński
15 czerwca 2014 at 12:04„…dzieci wręcz żądają podania im jasnego algorytmu działania.” – Nie tylko w matematyce, oczywiście. Wszechobecne testowanie, nacisk na klucz dyktujący jedynie słuszny wynik, przy jednoczesnym kulcie przeciętniactwa, powodują, że dzieciaki szukają drogi na skróty, a tą często wydają im się ostatnie strony podręczników, gdzie pozornie jasno podawane jest kompendium wiedzy z całego roku szkolnego. Są ogromnie rozczarowane, kiedy okazuje się, że samo odnalezienie informacji (ogromny sukces, niedostępny dla sporej części z nich) nie rozwiązuje problemu. Decydentom edukacji od dawna myli się dostępność informacji z ich zastosowaniem. Okazuje się, że „umiejętności” (jeśli w ogóle nabyte) nie mogą zastąpić asocjacji i wiedzy. Łopatologia stosowana, na dodatek nie egzekwowana (przynajmniej w „moim” przedmiocie – łatwo tu porównać kartotekę egzaminu gimnazjalnego z zawartością w/w „kompendiów”), którą narzuca ustawiczne równanie w dół, nie daje szans na sukces.
Wszyscy latami przyzwyczajani do algorytmu
„wygugluj>skopiuj>wyryjnablachę>powiedzwierszyk>dygnij>powtórzprocedurę”, po jego wykonaniu, nadal nie są w stanie odróżnić present perfect od past simple, bo algorytm ten nie zawiera instrukcji „przemyśl>zadajpytanie>zbudujhipotezę>zweryfikuj>powtórzjeślikonieczne”. Niektórym, zdolnym jeszcze do refleksji mimo szkolnego otępienia, pomaga postawienie tezy: „Istnieją takie czynności, które nie mają skutków”. I cud prawdziwy, ku zaskoczeniu zakładających, że przeciętne IQ nie pozwala na zadania wymagające myślenia, okazuje się, że można połączyć gramatykę z fizyką, czyli z życiem.
Niestety, edukacja skażona jest ideologią, czymś w rodzaju założenia, że wyższe czynności umysłowe są pojęciem klasowym i podobnie jak dobra materialne powinny zostać „znacjonalizowane” i rozdrobnione na łatwo przyswajalną papkę, tak żeby inteligentni inaczej też mogli być magistrami. Czym takie podejście skończyło się w przypadku własności wszyscy wiemy, miejmy nadzieję, że podobnie będzie z edukacją, choć nie sądzę, żeby to stało się szybko. Wszyscy zdolni do myślenia (czyli zdecydowana większość) powinni kiedyś zorientować się, że gotowych algorytmów nie potrzebują, bo mogą tworzyć je sami.
Paweł Kasprzak
15 czerwca 2014 at 13:07No, więc właśnie nie tylko z chłopcami. Miałem nadreprezntację chłopców, fakt, bo mi ze szkoły dawano na zajęcia dzieci szczególnie trudne, a dziewczynki są grzeczniejsze – jeśli mi oczywiście wolno takie generalizacje czynić bez narażenia się na oskarżenia o rozmaite rzeczy nikczemne i seksistowskie.
Fakt, dzieci się domagają jasnych algorytmów itd. Co więcej, ja bym nad tym łatwo nie przechodził do porządku, konstatując, że to tylko szkoła powoduje takie oczekiwania, bo do algorytmów przyzwyczaja. To jest oczywiście prawda, szkoła to robi. Natomiast może być również prawdą, że niezależnie od tego dzieci takich rzeczy oczekują i to wcale nie dlatego, że tak im się wydaje łatwiej. To może być jakieś naturalne zjawisko – w końcu np. efektywnie posługujemy się komputerami, nie wiedząc przecież, jak zrozumieć komputer poczynając od działania tranzystorowej bramki z jednej strony, a od maszyny Turinga z drugiej. Wcale nie chcemy rozumieć wszystkiego. Ale dopóki jesteśmy w szkole – podstawowej i ogólnokształcącej – rozumienie jest tym, czego powinniśmy szukać. Szkolne programy przeglądane z tego punktu widzenia, w ogromnej większości okażą się do wyrzucenia i reguły OK nie wniosą tu wiele. Niektóre mogą w niektórych przypadkach szkodzić.
Ucieczka na myśl, że za chwilę trzeba będzie myśleć. To jest prawda, wiele razy to widziałem i to jest problem centralny. Zjawisko ma chyba wiele przyczyn. Jest na pewno kształtowane kulturowo – bardzo silnie i zabawa w sklep z reklamowymi gazetkami dobrze pokazuje jeden z wymiarów. Jest też ta ucieczka produktem szkoły, gdzie skupienie oznacza to, co oznacza. Być może to jest również w jakimś stopniu naturalne, że dzieci nie chcą rozumieć wszystkiego, że wolą czegoś właśnie nie rozumieć.
Mam kilka strategii. Jedną z nich jest np. pokazać, że myślenie jest opłacalne dla lenia. Ale naprawdę wartość myślenia da się pokazać wtedy, kiedy ono się staje fajne samo dla siebie, a tu na przykład paradoksalne dowody i odkrywanie rzeczy nieintuicyjnych sprawdzają się świetnie. Dziewczyny wkręcałem rozmaitymi love stories na przykład. Albo religią. Nie ma siły – prędzej, czy później dochodziło do pytania, czym one się właściwie same różnią od stołu, przy którym siedzą. Na czym polega ich własne myślenie. Ale nie wszystkie przykłady myślenia/refleksji/skupienia są jednakowo wartościowe i nie wszystkie się nadają.
Przy okazji – gender studies – z dziewczętami, które się bawią w sklep, jest chyba tak, że one są na ogół szczerze i dość przerażająco przekonane, że właśnie nie myślą. Ich samowiedza jest tego rodzaju – myślenie jest im obce, męczące, nie dla nich, one się lepiej czują bez niego i to jest dla nich bardziej naturalne. Tylko szkoła wymaga od nich myślenia. Życie nie. Więc strategią dla dziewczyn jest budowa samowiedzy – pokazywanie im, że myślą, i to nawet nieźle.
Ale problem jest w sklepie właśnie i w naszych własnych przeświadczeniach. Mnie się wydaje, że próby skłonienia bawiących się w sklep dziewczynek do obliczania należności to ślepy zaułek. Owszem, to wymaga myślenia, ale może lepiej niech rzeczywiście kasa to robi, bo to nie jest ciekawe myślenie. Znaleźć coś innego, naprawdę ciekawego – to jest cholernie trudne, zwłaszcza, kiedy się trzeba zmagać z analfabetyzmem dzieci lub ich kompletnym obezwładnieniem reklamówkami. I szkołą.
Ze swoimi gimnazjalistami miałem kiedyś zdumiewającą przygodę. Grupa była już jako tako rozruszana i ja postanowiłem spróbować wkręcić chłopców w zagadnienie, czy da się zbudować myślącą maszynę – żeby chociaż chcieli poczytać trochę fantastyki. Skończyło się to dla mnie dramatycznie, bo mi się udało aż tak dobrze, że musiałem z nimi dojść aż do twierdzenia Goedla, co było wtedy zdecydowanie ponad mój własny poziom. Ale się okazało, że taki pomysł, że maszyna może myśleć, czuć itd. bardzo żywo dotknął zwłaszcza jedną z dziewczyn – która równocześnie, zgodnie ze stereotypem, absolutnie odmawiała zainteresowania czymkolwiek w rodzaju liczb, abstrakcji, ale też i użytecznych (np. w sklepie) narzędzi mentalnych. Pokazałem im alborytm działający na planszy, gdzie przy pomocy przesuwanych odpowiednio pionków wykonywało się obliczenia. Zrozumienie tych obliczeń wymagało od dzieciaków sporego wysiłku, a kiedy zrozumiały, spostrzeżenie, że bezrozumny algorytm jest tu skuteczny (bardziej niż one i w jakimś sensie bardziej „rozumiejący”), podziałało to na nie bardzo silnie i sprowokowało całe mnóstwo pytań o to, co jeszcze da się w ten sposób zaprojektować i czy ludzkie myślenie właśnie na takim przesuwaniu pionków polega. Dziewczyny były tym bardziej poruszone niż chłopcy. Ta konkretna dziewczyna swoim zwyczajem odmówiła uwagi przy wykonywaniu i potem analizie tego algorytmu, ale kiedy dotarło do niej, że te pionki liczą, żądała od pozostałych, żeby wyjaśnili, w jaki sposób, bardzo tym wszystkim podekscytowana. Oczywiście, że pojęła bez trudu, a skoro już pojęła, to wkręciła się po same uszy.
Jeden z chłopców nie przespał wtedy nocy i nazajutrz pojawił się z wystruganym z drewna działającym modelem maszyny liczącej w systemie dwójkowym. Ja chciałem to modelować z nimi w komputerze, a on to zrobił z drewna. Czym uwiódł tę dziewczynę zresztą. Są do dzisiaj parą. Nauki nie kontynuują, ale ile razy ich widzę, pytają o jakieś książki, jak jacyś nienormalni.
Xawer
15 czerwca 2014 at 11:23Jaki czworokąt o zadanych bokach ma największe pole i podobne problemy (np. jaka figura o zadanym obwodzie ma największe pole) najlepiej pokazać już w przedszkolu albo w pierwszych klasach. Ukłony dla Marzeny — to jedna z tych nielicznych rzeczy w matematyce, którą można ładnie pokazać w naturze, a nie tylko z kartką.
Z wykałaczek, nitki i kleju robisz czworokąt, który może deformować się od prostokąta po wyciągnięty równoległobok. Kładziesz go na powierzchni wody w misce. I w środku dotykasz powierzchni kawałeczkiem mydła albo patyczkiem, umoczonym w detergencie. Napięcie powierzchniowe natychmiast wymusza optymalizację powierzchni do prostokąta. Podobnie pętla z nitki po dotknięciu wody mydłem ułoży się w równy okrąg, można tak bawić się z różnymi figurami.
Przedszkolakom to się zazwyczaj bardzo podoba i zostają im w głowach intuicje geometryczne. Pokaż to swojemu Kubie!
Zastanawiam się, czy ta szkolna obowiązkowa bezmyślność i ogłupiający schematyzm nasiliły się wraz z kolejnymi zmianami szkolnictwa, czy też były zawsze podobne, ale ich skutki z wiekiem jednak ustępują — patrzę na odpowiedzi moich znajomych z wczorajszego obiadu. Dla pokolenia 50+ podział na trójkąty okazał się być oczywisty i natychmiast widoczny. A z doprowadzaniem do szkolnego wzoru kombinował jedynie jeden chłopak w 6 lat po maturze.
Paweł Kasprzak
16 czerwca 2014 at 01:55Mnie się wydaje, że im dalej od szkoły, tym skuteczniej mijają skutki. Numer z czasem gotowania 3 jajek, skoro wiemy, że jedno gotuje się przez 3 minuty chyba nie byłby możliwy, gdyby to pytanie zadać tym samym dzieciakom poza szkolym kontekstem. Założę się, że odpowiadaliby inaczej. U mnie w domu, gdzie bywa tłum ludzi i nikt z nich od dawna nie jest ze szkołą związany – nikt nie próbował liczyć wysokości, choć wielu jest takich, którzy, jak ci moi gimnazjaliści, nie wiedzą jak policzyć pole trójkąta 🙂 Do dziś pamiętam rodzinną dyskusję o ogrodzeniu, kiedy trzeba było tłumaczyć z wysiłkiem, że powierzchnia nie determinuje obwodu i że kształt jest tu ważny. Niemniej przy takiej „ignorancji” popadnięcie w szkolny schematyzm oczywiście możliwe nie jest 🙂
Numer z mydłem wykorzystywałem – mój Kuba ma to gdzieś. Ja mu nawet wyginałem strugę wody naelektryzowanym grzebieniem i on w tym niczego dziwnego nie widział. Gdyby Cię zobaczył lewitującego pół metra nad podłogą, nie zatrzymałby wzroku dłużej niż na sekundę. Dzisiejsza młodzież 🙂
Xawer
15 czerwca 2014 at 11:23Jaki czworokąt o zadanych bokach ma największe pole i podobne problemy (np. jaka figura o zadanym obwodzie ma największe pole) najlepiej pokazać już w przedszkolu albo w pierwszych klasach. Ukłony dla Marzeny — to jedna z tych nielicznych rzeczy w matematyce, którą można ładnie pokazać w naturze, a nie tylko z kartką.
Z wykałaczek, nitki i kleju robisz czworokąt, który może deformować się od prostokąta po wyciągnięty równoległobok. Kładziesz go na powierzchni wody w misce. I w środku dotykasz powierzchni kawałeczkiem mydła albo patyczkiem, umoczonym w detergencie. Napięcie powierzchniowe natychmiast wymusza optymalizację powierzchni do prostokąta. Podobnie pętla z nitki po dotknięciu wody mydłem ułoży się w równy okrąg, można tak bawić się z różnymi figurami.
Przedszkolakom to się zazwyczaj bardzo podoba i zostają im w głowach intuicje geometryczne. Pokaż to swojemu Kubie!
Zastanawiam się, czy ta szkolna obowiązkowa bezmyślność i ogłupiający schematyzm nasiliły się wraz z kolejnymi zmianami szkolnictwa, czy też były zawsze podobne, ale ich skutki z wiekiem jednak ustępują — patrzę na odpowiedzi moich znajomych z wczorajszego obiadu. Dla pokolenia 50+ podział na trójkąty okazał się być oczywisty i natychmiast widoczny. A z doprowadzaniem do szkolnego wzoru kombinował jedynie jeden chłopak w 6 lat po maturze.
Paweł Kasprzak
16 czerwca 2014 at 01:55Mnie się wydaje, że im dalej od szkoły, tym skuteczniej mijają skutki. Numer z czasem gotowania 3 jajek, skoro wiemy, że jedno gotuje się przez 3 minuty chyba nie byłby możliwy, gdyby to pytanie zadać tym samym dzieciakom poza szkolym kontekstem. Założę się, że odpowiadaliby inaczej. U mnie w domu, gdzie bywa tłum ludzi i nikt z nich od dawna nie jest ze szkołą związany – nikt nie próbował liczyć wysokości, choć wielu jest takich, którzy, jak ci moi gimnazjaliści, nie wiedzą jak policzyć pole trójkąta 🙂 Do dziś pamiętam rodzinną dyskusję o ogrodzeniu, kiedy trzeba było tłumaczyć z wysiłkiem, że powierzchnia nie determinuje obwodu i że kształt jest tu ważny. Niemniej przy takiej „ignorancji” popadnięcie w szkolny schematyzm oczywiście możliwe nie jest 🙂
Numer z mydłem wykorzystywałem – mój Kuba ma to gdzieś. Ja mu nawet wyginałem strugę wody naelektryzowanym grzebieniem i on w tym niczego dziwnego nie widział. Gdyby Cię zobaczył lewitującego pół metra nad podłogą, nie zatrzymałby wzroku dłużej niż na sekundę. Dzisiejsza młodzież 🙂
Xawer
16 czerwca 2014 at 12:40Chyba też wyjdę na seksistę, a w każdym razie na genderową niepoprawność — ale ostatnio miałem trochę więcej do czynienia z dziećmi w wieku wczesnoszkolnym (6-12) i widzę tu wyraźną korelację zainteresowań z płcią. W szczególności tę „ucieczkę od myślenia”, o której piszą Monika i Paweł u dziewczynek widzę głębszą i częstszą. Ale nie potrafię jej powiązać z imprintem kulturowym i „przemocą symboliczną” — to nie są dzieci z patriarchalnych rodzin z matkami blondynkami-idiotkami, czytującymi wyłącznie Tinę.
Stąd wobec dzieciaków (a częściej nabiera to wagi w przypadku dziewczynek) w tym wieku jako główne wyzwanie edukacyjne widzę nie tyle samo nauczenie takiej, czy innej konkretnej wiedzy, ale podtrzymywanie i obronę (wbrew naturalnemu zanikowi i ogłupiającej presji szkoły) tego pierwotnego dziecinnego zaciekawienia mechanizmami Świata, utrzymanie potrzeby stawiania pytania „dlaczego?” a nie tylko „jak?”
Nigdy nie wiadomo w co, poza zabawą w sklep, takie dziecko się wkręci. Mam znajomą dziewczynkę, od trzech tygodni usiłującą przechytrzyć Eulera: skleja z patyczków albo kartonu różne bryły, pracowicie liczy te wierzchołki, ściany i krawędzie, ale zawsze jej wychodzi, że $S+W-K=2$. Wie już z indukcji i ode mnie i Eulera, że tak jest, ale nie rozumie dlaczego i ten brak rozumienia wyraźnie ją uwiera.
Xawer
16 czerwca 2014 at 12:40Chyba też wyjdę na seksistę, a w każdym razie na genderową niepoprawność — ale ostatnio miałem trochę więcej do czynienia z dziećmi w wieku wczesnoszkolnym (6-12) i widzę tu wyraźną korelację zainteresowań z płcią. W szczególności tę „ucieczkę od myślenia”, o której piszą Monika i Paweł u dziewczynek widzę głębszą i częstszą. Ale nie potrafię jej powiązać z imprintem kulturowym i „przemocą symboliczną” — to nie są dzieci z patriarchalnych rodzin z matkami blondynkami-idiotkami, czytującymi wyłącznie Tinę.
Stąd wobec dzieciaków (a częściej nabiera to wagi w przypadku dziewczynek) w tym wieku jako główne wyzwanie edukacyjne widzę nie tyle samo nauczenie takiej, czy innej konkretnej wiedzy, ale podtrzymywanie i obronę (wbrew naturalnemu zanikowi i ogłupiającej presji szkoły) tego pierwotnego dziecinnego zaciekawienia mechanizmami Świata, utrzymanie potrzeby stawiania pytania „dlaczego?” a nie tylko „jak?”
Nigdy nie wiadomo w co, poza zabawą w sklep, takie dziecko się wkręci. Mam znajomą dziewczynkę, od trzech tygodni usiłującą przechytrzyć Eulera: skleja z patyczków albo kartonu różne bryły, pracowicie liczy te wierzchołki, ściany i krawędzie, ale zawsze jej wychodzi, że $S+W-K=2$. Wie już z indukcji i ode mnie i Eulera, że tak jest, ale nie rozumie dlaczego i ten brak rozumienia wyraźnie ją uwiera.
Paweł Kasprzak
11 lipca 2014 at 21:28Danusiu, spróbuj się, proszę, poczuć uczennicą na mojej lekcji i spróbuj (w grupach, niech będzie, bo samemu ciężko, wykorzystując także TIK i nawet szukając w internecie) podać uzasadnienie takiej oto symetrii na liście kolejnych wielokrotności dziewiątki:
09 – 18 – 27 – 36 – 45 /-\ 54 – 63 – 72 – 81 – 90
Albo kolejne wielokrotności ósemki w systemie dziewiątkowym:
08 – 17 – 26 – 35 – /44\ – 53 – 62 – 71 – 80.
Itd.
Albo uzasadnić to ogólnie dla dowolnego systemu zapisu. Czy któraś szkoła pokazuje dzieciom takie rzeczy? Czy widziałaś tę symetrię jako matematyczka? Są wakacje i wielu dobrych nauczycieli znajduje czas na przemyślenie tematów i celów swoich zajęć. W tym wakacyjnym kontekście piszę.
Widzę też obok pod Twoim kolejnym wpisem komentarz o Ksawerym, który się wtrąca i wszystko wie najlepiej i za którego należy przepraszać niegodnie zaatakowanych. Solidaryzuję się z nim – czego się pewnie spodziewasz, bo i sam się przecież wymądrzam wkurzająco. Ale – nawiązując z kolei do tamtego tematu – jak myślisz, jaki mógłby być cel takiej lekcji?
Najpierw trzeba by wiedzieć, skąd się bierze przytoczona tu symetria. Sprawdziłem na nauczycielach matematyki – nie bardzo wiedzą. Sprawdzałem też wielokrotnie na uczniach. Ci skutecznie nauczeni tabliczki mnożenia z użyciem przyjaznych sztuczek mnemotechnicznych, co zatem, którzy liczby i tabliczkę mnożenia pamiętają jak nazwy (zgodnie z wiedzą Marzeny, mając tę informację zakodowaną po lewej stronie czaszki) – są bezradni wobec takich zagadnień, jak również obec niedziesiętnych systemów. Moja odpowiedź na pytanie o cel: łamigłówka dla mnie i dla dzieciaków. Rozwijająca. Myślenie. Jakiekolwiek. Uważam, że ten cel jest jawnie sprzeczny z podstawą programową.
Najzupełniej poważnie zaś chciałbym i Ciebie, i Ksawerego pojednawczo namówić do wspólnego tym razem wysiłku i poszukać takiego „scenariusza” (Ksawery scenariuszy nienawidzi szczerze, ja zresztą też dokładnie z tych samych powodów, ale niech ten scenariusz będzie przykładem jednego z wielu możliwych dialogów z uczniami lub pojedynczym uczniem), który by się nadawał dla jak najmłodszych dzieci. Jak stawiacie? Da się to pokazać, powiedzmy, po trzeciej klasie? Pytam o dwie rzeczy na raz – o zdroworozsądkową ocenę poznawczego potencjału dziesięciolatka oraz o to, jak się ten problem ma do podstawy programowej.
Jak byście tę symetrię uzasadnili?
Jeśli jakiś szkolny matematyk tu zajrzy, stawiam, że będzie zaskoczony i że takiego spostrzeżenia nie dokonał ani nie widział. No, to sobie zróbcie tabliczkę mnożenia o rozmiarach 10×20 i zamiast wyników mnożeń wpiszcie jednocyfrowe sumy cyfr tych wyników. Czyli w miejscu 14×7=98 dodajcie 9+8=17, co jest nadal dwucyfrowe, więc wpiszcie 8=1+7. Popatrzcie na regularności widoczne z kolei tutaj i również to spróbujcie zrozumieć, skąd one się biorą.
Paweł Kasprzak
11 lipca 2014 at 23:32I jeszcze coś. „Normalnie” uczony w szkole człowiek (ja również) wykonuje operacje w systemach niedziesiętnych, licząc najpierw „normalnie”, a potem „tłumacząc” wynik na ów „dziwny” system zapisu. Dzieci uczone „nienormalnie” postępują tak, jak Anglicy przyzwyczajeni do tuzinów, sześćdziesiątek itd. – po prostu liczą od razu w systemie „wyjściowym”, który równocześnie jest „docelowym”.
W przypadku liczb podzielnych przez podstawę systemu pomniejszoną o 1 (czyli 9 w systemie dziesiętnym, 8 w dziewiątkowym itd.) liczenie staje się proste, kiedy się już zauważy sens operacji i zapisu i wie się, na czym polega symetria. Nawet ja to potrafię. Kombinowanie w ten sposób, który tu proponuję, powoduje – już chyba widzę pierwsze efekty – że wszystkie działania zaczyna się wykonywać bezpośrednio. W czaszce powstaje wtedy model, jak bęben dziesiętny (i dziewiątkowy, ósemkowy, szesnastkowy – dowolny), który te operacje wykonuje. Tak jest lepiej, czy może gorzej, niż wtedy, kiedy się uczymy „normalnie”?
Ja bez wątpliwości wolę, kiedy się ktoś w mnożeniu myli i powoli je liczy, ale tę zdolność ma, te struktury widzi itd. Zresztą sądzę, że to nawet nie jest strata czasu i że dzieci biegłość rachunkową osiągałyby w takim „scenariuszu” szybciej, a nie wolniej. Bo choć na ogół bezświadome odruchy działają nieporównanie szybciej od czegokolwiek obrabianego przez szarą substancję świadomie, to zastosowanie wszystkiego, co jesteśmy w stanie wyćwiczyć w ten nieświadomy i automatyczny sposób, jest nader ograniczone.
Sprawdzam też – i póki co wychodzi nieźle – działanie takiego podejścia na maluchach, które właśnie wykonują pierwsze takie operacje w życiu połączone z zapisywaniem przy użyciu cyfr (i dowolnych innych symboli). Działa – dlaczego miałoby nie działać? Dzieci to potrafią – dlaczego miałyby nie potrafić, skoro sobie radzą w systemie dziesiętnym?
Poznawcze protezy w postaci pomocy naukowych są tu od dawna znane i stosowane. To są np. woreczki, do których pakujemy żetony – po dziesięć w systemie dziesiętnym, po pięć w piątkowym itd. Język z nazwami liczb nieco tu komplikuje sprawę, ale okazuje się, że to raczej niewielki problem. Da się zresztą dopuszczać nazwy fikcyjne, które dzieciaki same z radością tworzą: typu „fura”, „mnóstwo”, „mrowie”, „stado” itd.
Xawer
12 lipca 2014 at 08:47Symetria fajna. Nie zwróciłem na nią uwagi, ale uzasadnić się da i to na co najmniej dwa sposoby. Nie będę podpowiadał Danusi 😉
Wydaje mi się, że przynajmniej z niektórymi dzieciakami, nawet młodszymi, to powinno przejść. Po wakacjach mogę spróbować na Mikołaju (od września 3. klasa) — on z towarzystwa Ale Szkoły jest najbardziej zapalony do zabaw liczbami. Sądzę, że wymyśli sam to uzasadnienie bez większej pomocy. A już z pewnością zrozumiałby, gdybym mu je opowiedział.
Scenariusz na ukrzesłowioną lekcję z kartką i ołówkiem tu widzę tyleż banalny, co niekompletny: wypisać te wielokrotności 9 tak, jak Paweł je wypisał, powiedzieć, że to są wielokrotności 9, może nawet pod każdą z nich napisać 2*9, 3*9…10*9, pokazać tę symetrię zapisu, wygłosić magiczną kwestię: „pomyśl Mikołaju, dlaczego te cyfry układają się w taki symetryczny wzór” i zająć się piciem kawy, a nie przeszkadzaniem mu w myśleniu. Ciąg dalszy w całości improwizowany w zależności od tego, co Mikołaj wymyśli…
A jeśli nie wymyśli zupełnie niczego, to zajmiemy się czymś zupełnie innym, bo przecież celem tej lekcji nie jest to, by Mikołaj dowiedział się, skąd się bierze ta symetria, tylko by sam nad tym myślał.
O niedziesiętnych systemach zapisu chyba nigdy nie słyszał, to przenoszenie zagadnienia na system dziewiątkowy, a tym bardziej uogólnienie na dowolny by wymagało jednak dłuższego przygotowania.
Znajomy przedszkolak (teraz już jest dużo starszy) wymyślił kiedyś system piątkowy. Liczył na palcach i zabrakło mu palców, żeby wyjść ponad 10. No to palce z jednej dłoni służyły do liczenia do pięciu, a te z drugiej — każdy oznaczał pięć.
Nie mam aż tak ostrego wrażenia, że uczeni „szkolnie” uczniowie maja poważne problemy ze zrozumieniem niedziesiętnych systemów pozycyjnych. Uczyłem programowania kilkunastu gimnazjalistów i licealistów, a dawno temu kilkuset studentów. I nigdy nie było problemów z arytmetyką dwójkową, szesnastkową, ani nawet (modnym w prehistorii programistyki) zapisem ósemkowym.
Czytałem kiedyś artykuł o umiejętnościach matematycznych (w sensie szkolnym, czyli głównie rachunkowych) dorosłych w Anglii i Holandii. O ile różnice wśród młodych ludzi są niewielkie, o tyle w pokoleniu dzisiejszych pięćdziesięciolatków i starszych Anglicy bili Holendrów na głowę. Artykuł nie wiązał tego ze zmianami w szkolnictwie, ale z tym, że starsi Anglicy byli w naturalny sposób wytrenowani w niemetrycznych miarach, a zwłaszcza w systemie pieniężnym esterling. Zmieniło się dopiero w 1976.
Donald E.Knuth kiedyś wymyślił nazwy dla cyfr szesnastkowych, nawet w miarę nieźle wpasowujące się w angielszczyznę. Eleven, twelve, to oczywiste, a reszty nie pamietam, ale w stylu pachnącym trochę germańsko, coś w stylu: trilve, forve, finve.
Paweł Kasprzak
12 lipca 2014 at 09:07„przecież celem tej lekcji nie jest to, by Mikołaj dowiedział się, skąd się bierze ta symetria, tylko by sam nad tym myślał”.
To jest definicja szkoły!
Problem (dla mnie) tylko w tym, czy rzeczywiście pić kawę i czekać, czy jednak coś podpowiadać. Ja zresztą myślę, że symetria wielokrotności dziewiątki jest dla dziecka zrozumiała, kiedy ono po prostu zaczyna rozumieć dodawanie i mnożenie – może nawet łatwiej, niż kiedy już „uczeń wykonuje i stosuje” przeróżne rzeczy z tym związane.
Problemy z systemami niedziesiętnymi ja widuję systematycznie, u dorosłych zresztą również. Ale zrozumienie zapisu pozycyjnego (każdego, nie tylko dziesiętnego) jawnia się tam, gdzie trzeba pokazać np., że suma cyrf liczby podzielnej przez 9 jest również podzielna przez 9. Podobnie jest z problemami, które da się pokazać z użyciem algorytmów pisemnego mnożenia i dzielenia – ci, którzy go znają, kompletnie go nie rozumieją, podczas, gdy ci niedouczeni przynajmniej zachowują niezblokowaną zdolność do rozumienia.
Paweł Kasprzak
12 lipca 2014 at 09:21Ksawery, przyjrzyj się jeszcze sumom cyfr wyników mnożenia. Tam jest mnóstwo kombinowania — takiego „strukturalnego”. Szukam źródeł „rozrywkowej matematyki” – takich „matematycznych szarad”. Nie pamiętam wielu, a mam wrażenie, że w Polsce kiedyś były i zniknęły. Za granicą może gdzieś jeszcze się takie rzeczy drukuje? „Delta” jest za trudna i adresowana „do uzdolnionych”.
Xawer
12 lipca 2014 at 09:28Wyszło w Polsce kilkanaście książek Iana Stewarta, w szczególności
„Gabinet matematycznych zagadek” – i jego sequel
„Jak pokroić tort i inne zagadki matematyczne”
W Delcie masz dział „Mała Delta”, gdzie bardzo często sa problemy zrozumiałe dla 10-latka.
No i ja jestem wielkim fanem klasyki sprzed 100 lat, czyli Szczepana Jeleńskiego — niestety dawno go nie wznawiano, ja mam takie wydania z czasów mojego dzieciństwa.
Paweł Kasprzak
11 lipca 2014 at 21:28Danusiu, spróbuj się, proszę, poczuć uczennicą na mojej lekcji i spróbuj (w grupach, niech będzie, bo samemu ciężko, wykorzystując także TIK i nawet szukając w internecie) podać uzasadnienie takiej oto symetrii na liście kolejnych wielokrotności dziewiątki:
09 – 18 – 27 – 36 – 45 /-\ 54 – 63 – 72 – 81 – 90
Albo kolejne wielokrotności ósemki w systemie dziewiątkowym:
08 – 17 – 26 – 35 – /44\ – 53 – 62 – 71 – 80.
Itd.
Albo uzasadnić to ogólnie dla dowolnego systemu zapisu. Czy któraś szkoła pokazuje dzieciom takie rzeczy? Czy widziałaś tę symetrię jako matematyczka? Są wakacje i wielu dobrych nauczycieli znajduje czas na przemyślenie tematów i celów swoich zajęć. W tym wakacyjnym kontekście piszę.
Widzę też obok pod Twoim kolejnym wpisem komentarz o Ksawerym, który się wtrąca i wszystko wie najlepiej i za którego należy przepraszać niegodnie zaatakowanych. Solidaryzuję się z nim – czego się pewnie spodziewasz, bo i sam się przecież wymądrzam wkurzająco. Ale – nawiązując z kolei do tamtego tematu – jak myślisz, jaki mógłby być cel takiej lekcji?
Najpierw trzeba by wiedzieć, skąd się bierze przytoczona tu symetria. Sprawdziłem na nauczycielach matematyki – nie bardzo wiedzą. Sprawdzałem też wielokrotnie na uczniach. Ci skutecznie nauczeni tabliczki mnożenia z użyciem przyjaznych sztuczek mnemotechnicznych, co zatem, którzy liczby i tabliczkę mnożenia pamiętają jak nazwy (zgodnie z wiedzą Marzeny, mając tę informację zakodowaną po lewej stronie czaszki) – są bezradni wobec takich zagadnień, jak również obec niedziesiętnych systemów. Moja odpowiedź na pytanie o cel: łamigłówka dla mnie i dla dzieciaków. Rozwijająca. Myślenie. Jakiekolwiek. Uważam, że ten cel jest jawnie sprzeczny z podstawą programową.
Najzupełniej poważnie zaś chciałbym i Ciebie, i Ksawerego pojednawczo namówić do wspólnego tym razem wysiłku i poszukać takiego „scenariusza” (Ksawery scenariuszy nienawidzi szczerze, ja zresztą też dokładnie z tych samych powodów, ale niech ten scenariusz będzie przykładem jednego z wielu możliwych dialogów z uczniami lub pojedynczym uczniem), który by się nadawał dla jak najmłodszych dzieci. Jak stawiacie? Da się to pokazać, powiedzmy, po trzeciej klasie? Pytam o dwie rzeczy na raz – o zdroworozsądkową ocenę poznawczego potencjału dziesięciolatka oraz o to, jak się ten problem ma do podstawy programowej.
Jak byście tę symetrię uzasadnili?
Jeśli jakiś szkolny matematyk tu zajrzy, stawiam, że będzie zaskoczony i że takiego spostrzeżenia nie dokonał ani nie widział. No, to sobie zróbcie tabliczkę mnożenia o rozmiarach 10×20 i zamiast wyników mnożeń wpiszcie jednocyfrowe sumy cyfr tych wyników. Czyli w miejscu 14×7=98 dodajcie 9+8=17, co jest nadal dwucyfrowe, więc wpiszcie 8=1+7. Popatrzcie na regularności widoczne z kolei tutaj i również to spróbujcie zrozumieć, skąd one się biorą.
Paweł Kasprzak
11 lipca 2014 at 23:32I jeszcze coś. „Normalnie” uczony w szkole człowiek (ja również) wykonuje operacje w systemach niedziesiętnych, licząc najpierw „normalnie”, a potem „tłumacząc” wynik na ów „dziwny” system zapisu. Dzieci uczone „nienormalnie” postępują tak, jak Anglicy przyzwyczajeni do tuzinów, sześćdziesiątek itd. – po prostu liczą od razu w systemie „wyjściowym”, który równocześnie jest „docelowym”.
W przypadku liczb podzielnych przez podstawę systemu pomniejszoną o 1 (czyli 9 w systemie dziesiętnym, 8 w dziewiątkowym itd.) liczenie staje się proste, kiedy się już zauważy sens operacji i zapisu i wie się, na czym polega symetria. Nawet ja to potrafię. Kombinowanie w ten sposób, który tu proponuję, powoduje – już chyba widzę pierwsze efekty – że wszystkie działania zaczyna się wykonywać bezpośrednio. W czaszce powstaje wtedy model, jak bęben dziesiętny (i dziewiątkowy, ósemkowy, szesnastkowy – dowolny), który te operacje wykonuje. Tak jest lepiej, czy może gorzej, niż wtedy, kiedy się uczymy „normalnie”?
Ja bez wątpliwości wolę, kiedy się ktoś w mnożeniu myli i powoli je liczy, ale tę zdolność ma, te struktury widzi itd. Zresztą sądzę, że to nawet nie jest strata czasu i że dzieci biegłość rachunkową osiągałyby w takim „scenariuszu” szybciej, a nie wolniej. Bo choć na ogół bezświadome odruchy działają nieporównanie szybciej od czegokolwiek obrabianego przez szarą substancję świadomie, to zastosowanie wszystkiego, co jesteśmy w stanie wyćwiczyć w ten nieświadomy i automatyczny sposób, jest nader ograniczone.
Sprawdzam też – i póki co wychodzi nieźle – działanie takiego podejścia na maluchach, które właśnie wykonują pierwsze takie operacje w życiu połączone z zapisywaniem przy użyciu cyfr (i dowolnych innych symboli). Działa – dlaczego miałoby nie działać? Dzieci to potrafią – dlaczego miałyby nie potrafić, skoro sobie radzą w systemie dziesiętnym?
Poznawcze protezy w postaci pomocy naukowych są tu od dawna znane i stosowane. To są np. woreczki, do których pakujemy żetony – po dziesięć w systemie dziesiętnym, po pięć w piątkowym itd. Język z nazwami liczb nieco tu komplikuje sprawę, ale okazuje się, że to raczej niewielki problem. Da się zresztą dopuszczać nazwy fikcyjne, które dzieciaki same z radością tworzą: typu „fura”, „mnóstwo”, „mrowie”, „stado” itd.
Xawer
12 lipca 2014 at 08:47Symetria fajna. Nie zwróciłem na nią uwagi, ale uzasadnić się da i to na co najmniej dwa sposoby. Nie będę podpowiadał Danusi 😉
Wydaje mi się, że przynajmniej z niektórymi dzieciakami, nawet młodszymi, to powinno przejść. Po wakacjach mogę spróbować na Mikołaju (od września 3. klasa) — on z towarzystwa Ale Szkoły jest najbardziej zapalony do zabaw liczbami. Sądzę, że wymyśli sam to uzasadnienie bez większej pomocy. A już z pewnością zrozumiałby, gdybym mu je opowiedział.
Scenariusz na ukrzesłowioną lekcję z kartką i ołówkiem tu widzę tyleż banalny, co niekompletny: wypisać te wielokrotności 9 tak, jak Paweł je wypisał, powiedzieć, że to są wielokrotności 9, może nawet pod każdą z nich napisać 2*9, 3*9…10*9, pokazać tę symetrię zapisu, wygłosić magiczną kwestię: „pomyśl Mikołaju, dlaczego te cyfry układają się w taki symetryczny wzór” i zająć się piciem kawy, a nie przeszkadzaniem mu w myśleniu. Ciąg dalszy w całości improwizowany w zależności od tego, co Mikołaj wymyśli…
A jeśli nie wymyśli zupełnie niczego, to zajmiemy się czymś zupełnie innym, bo przecież celem tej lekcji nie jest to, by Mikołaj dowiedział się, skąd się bierze ta symetria, tylko by sam nad tym myślał.
O niedziesiętnych systemach zapisu chyba nigdy nie słyszał, to przenoszenie zagadnienia na system dziewiątkowy, a tym bardziej uogólnienie na dowolny by wymagało jednak dłuższego przygotowania.
Znajomy przedszkolak (teraz już jest dużo starszy) wymyślił kiedyś system piątkowy. Liczył na palcach i zabrakło mu palców, żeby wyjść ponad 10. No to palce z jednej dłoni służyły do liczenia do pięciu, a te z drugiej — każdy oznaczał pięć.
Nie mam aż tak ostrego wrażenia, że uczeni „szkolnie” uczniowie maja poważne problemy ze zrozumieniem niedziesiętnych systemów pozycyjnych. Uczyłem programowania kilkunastu gimnazjalistów i licealistów, a dawno temu kilkuset studentów. I nigdy nie było problemów z arytmetyką dwójkową, szesnastkową, ani nawet (modnym w prehistorii programistyki) zapisem ósemkowym.
Czytałem kiedyś artykuł o umiejętnościach matematycznych (w sensie szkolnym, czyli głównie rachunkowych) dorosłych w Anglii i Holandii. O ile różnice wśród młodych ludzi są niewielkie, o tyle w pokoleniu dzisiejszych pięćdziesięciolatków i starszych Anglicy bili Holendrów na głowę. Artykuł nie wiązał tego ze zmianami w szkolnictwie, ale z tym, że starsi Anglicy byli w naturalny sposób wytrenowani w niemetrycznych miarach, a zwłaszcza w systemie pieniężnym esterling. Zmieniło się dopiero w 1976.
Donald E.Knuth kiedyś wymyślił nazwy dla cyfr szesnastkowych, nawet w miarę nieźle wpasowujące się w angielszczyznę. Eleven, twelve, to oczywiste, a reszty nie pamietam, ale w stylu pachnącym trochę germańsko, coś w stylu: trilve, forve, finve.
Paweł Kasprzak
12 lipca 2014 at 09:07„przecież celem tej lekcji nie jest to, by Mikołaj dowiedział się, skąd się bierze ta symetria, tylko by sam nad tym myślał”.
To jest definicja szkoły!
Problem (dla mnie) tylko w tym, czy rzeczywiście pić kawę i czekać, czy jednak coś podpowiadać. Ja zresztą myślę, że symetria wielokrotności dziewiątki jest dla dziecka zrozumiała, kiedy ono po prostu zaczyna rozumieć dodawanie i mnożenie – może nawet łatwiej, niż kiedy już „uczeń wykonuje i stosuje” przeróżne rzeczy z tym związane.
Problemy z systemami niedziesiętnymi ja widuję systematycznie, u dorosłych zresztą również. Ale zrozumienie zapisu pozycyjnego (każdego, nie tylko dziesiętnego) jawnia się tam, gdzie trzeba pokazać np., że suma cyrf liczby podzielnej przez 9 jest również podzielna przez 9. Podobnie jest z problemami, które da się pokazać z użyciem algorytmów pisemnego mnożenia i dzielenia – ci, którzy go znają, kompletnie go nie rozumieją, podczas, gdy ci niedouczeni przynajmniej zachowują niezblokowaną zdolność do rozumienia.
Paweł Kasprzak
12 lipca 2014 at 09:21Ksawery, przyjrzyj się jeszcze sumom cyfr wyników mnożenia. Tam jest mnóstwo kombinowania — takiego „strukturalnego”. Szukam źródeł „rozrywkowej matematyki” – takich „matematycznych szarad”. Nie pamiętam wielu, a mam wrażenie, że w Polsce kiedyś były i zniknęły. Za granicą może gdzieś jeszcze się takie rzeczy drukuje? „Delta” jest za trudna i adresowana „do uzdolnionych”.
Xawer
12 lipca 2014 at 09:28Wyszło w Polsce kilkanaście książek Iana Stewarta, w szczególności
„Gabinet matematycznych zagadek” – i jego sequel
„Jak pokroić tort i inne zagadki matematyczne”
W Delcie masz dział „Mała Delta”, gdzie bardzo często sa problemy zrozumiałe dla 10-latka.
No i ja jestem wielkim fanem klasyki sprzed 100 lat, czyli Szczepana Jeleńskiego — niestety dawno go nie wznawiano, ja mam takie wydania z czasów mojego dzieciństwa.
Xawer
12 lipca 2014 at 09:22Tyle, co zajmuje wypicie kawy, to ją pić, a dzieciakowi dać myśleć samemu…
A potem to już trzeba na wyczucie: czy odpuścić temat całkiem, czy podpowiadać, czy dyskutować zupełnie nieudane pomysły, jeśli dzieciak takowe ujawni. Tu nie może być uniwersalnej recepty — to zależy i od osobowości dzieciaka i od jego nastawienia do problemu i wreszcie od tego, co sam wymyślił, choćby błędnie.
Ja staram się podpowiadać jak najmniej, zwłaszcza gdy dzieciak nie ujawnia żadnych pomysłów. Sądzę, że najczęściej lepiej go z tym zostawić i wrócić do tematu za tydzień.
Z regułą podzielności przez 9 — można ją, oczywiście, udowodnić formalnie. Ale pierwszy sposób, jaki mi przychodzi na myśl, jak ją uzasadnić w prosty sposób, to właśnie korzystając z algorytmu dodawania na kartce i indukcji…
Paweł Kasprzak
12 lipca 2014 at 10:43Tak, to się pokazuje np. – choć to jest dość „siłowe” rozwiązanie – odejmując pisemnie 10n – n. Wtedy widać, „jak to działa”, ale przy okazji widać, czym jest pozycyjny zapis w ogóle.
Masz rację z nieistnieniem uniwersalnej recepty. Ale mnie o coś troszkę innego chodzi. Nie o to, jak tę symetrię i inne podobne rzeczy potrafi wyjaśniać myślący i umiejący liczyć dziesięciolatek, ale bardziej o to, jak właśnie „uczyć liczenia” od razu pokazując dzieciom tego rodzaju struktury.
Dzieciak, który wymyślił system piątkowy w liczeniu na palcach. Klasyczne liczydło jest skrzyżowaniem piątek z dziesiątkami. Od dawna używa się w szkołach prostego i moim zdaniem dobrego patentu z woreczkami na dziesiątki. Rzecz moim zdaniem w tym, żeby wszystkie tego typu operacje strukturalne wyprzedzały nazywanie liczb i ich internalizację właśnie słownikową – jako nazw.
Błędne próby rozwiązania są właśnie najfajniesze, to prawda…
Xawer
12 lipca 2014 at 16:53Ja myślałem, żeby użyć tej strasznej i zbyt trudnej nie tylko dla prof.Semadeniego, ale nawet dla maturzystów metody indukcji i dodając pisemnie 9 do dowolnej liczby pokazać, że reszta z dzielenia sumy cyfr przez 9 nie zmienia się po dodaniu 9 do liczby: suma cyfr albo wzrasta o 9, albo pozostaje nie zmieniona.
Nie unikniesz nazywania liczb — tego się przecież uczy się na etapie przepoczwarzania się z niemowlęcia w mowlę. Liczby (i to dziesiętne) są elementem codziennego języka. Nie bałbym się zresztą tego uczenia i internalizacji nazw. Raczej pomyślałbym o tym, żeby uchronić dziecko przed ogłupianiem rachunkowym liczeniem patyczków, tabliczką mnożenia i algorytmami działań pisemnych, tudzież ogłupiającymi ćwiczeniami na znajomość cyfr typu „pokoloruj pięć kratek i w następnej wpisz cyfrę pięć”.
W ostatniej Delcie (http://www.deltami.edu.pl/temat/roznosci/biologia/2014/06/30/Malpy_licza_niedoscigle/) jest bardzo fajna notka o umiejętnościach arytmetycznych makaków. Jest tam link do oryginalnego artykułu w PNAS — nie podaję go tu, żeby nie wpaść w spam. Bardzo warto przeczytać, choć troszkę obawiam się nadinterpretacji!
Poza patentem z woreczkami system dziesiętny świetnie widać na mechanicznych licznikach z kilkoma kółkami, gdzie cały obrót jednego powoduje przeskoczenie następnego o jeden ząbek — jakie są uzywane w wodomierzach, starych mechanicznych licznikach energii, taksometrach, etc.
Paweł Kasprzak
12 lipca 2014 at 17:58No, właśnie o bębenkach myślałem. Kiedyś robiłem takie wizualizacje w komputerze, łącznie z prostymi maszynami rachującymi. Rzeczywiście natomiast chodzi mi o to, żeby się w umyśle dzieciaka pojawił model takiego bębenka i żeby on był ogólny, tj., żeby różne systemy tam mogły wskakiwać bez specjalnej różnicy między jednym, a drugim. A tak, indukcja – popatrz, nie pomyślałem, a to takie proste. Zresztą też pokazuje logikę zapisu. Indukcja tego rodzaju nadaje się przecież do podstawówki! Brawo!
Danusia?
Paweł Kasprzak
12 lipca 2014 at 18:08Śmieszne badanie, fajna notka w Delcie – z tą uwagą o zastosowaniach w reformie oświaty. Zauważ, proszę, że rezusom dość wyraźnie określono cel lekcji 🙂
Xawer
12 lipca 2014 at 09:22Tyle, co zajmuje wypicie kawy, to ją pić, a dzieciakowi dać myśleć samemu…
A potem to już trzeba na wyczucie: czy odpuścić temat całkiem, czy podpowiadać, czy dyskutować zupełnie nieudane pomysły, jeśli dzieciak takowe ujawni. Tu nie może być uniwersalnej recepty — to zależy i od osobowości dzieciaka i od jego nastawienia do problemu i wreszcie od tego, co sam wymyślił, choćby błędnie.
Ja staram się podpowiadać jak najmniej, zwłaszcza gdy dzieciak nie ujawnia żadnych pomysłów. Sądzę, że najczęściej lepiej go z tym zostawić i wrócić do tematu za tydzień.
Z regułą podzielności przez 9 — można ją, oczywiście, udowodnić formalnie. Ale pierwszy sposób, jaki mi przychodzi na myśl, jak ją uzasadnić w prosty sposób, to właśnie korzystając z algorytmu dodawania na kartce i indukcji…
Paweł Kasprzak
12 lipca 2014 at 10:43Tak, to się pokazuje np. – choć to jest dość „siłowe” rozwiązanie – odejmując pisemnie 10n – n. Wtedy widać, „jak to działa”, ale przy okazji widać, czym jest pozycyjny zapis w ogóle.
Masz rację z nieistnieniem uniwersalnej recepty. Ale mnie o coś troszkę innego chodzi. Nie o to, jak tę symetrię i inne podobne rzeczy potrafi wyjaśniać myślący i umiejący liczyć dziesięciolatek, ale bardziej o to, jak właśnie „uczyć liczenia” od razu pokazując dzieciom tego rodzaju struktury.
Dzieciak, który wymyślił system piątkowy w liczeniu na palcach. Klasyczne liczydło jest skrzyżowaniem piątek z dziesiątkami. Od dawna używa się w szkołach prostego i moim zdaniem dobrego patentu z woreczkami na dziesiątki. Rzecz moim zdaniem w tym, żeby wszystkie tego typu operacje strukturalne wyprzedzały nazywanie liczb i ich internalizację właśnie słownikową – jako nazw.
Błędne próby rozwiązania są właśnie najfajniesze, to prawda…
Xawer
12 lipca 2014 at 16:53Ja myślałem, żeby użyć tej strasznej i zbyt trudnej nie tylko dla prof.Semadeniego, ale nawet dla maturzystów metody indukcji i dodając pisemnie 9 do dowolnej liczby pokazać, że reszta z dzielenia sumy cyfr przez 9 nie zmienia się po dodaniu 9 do liczby: suma cyfr albo wzrasta o 9, albo pozostaje nie zmieniona.
Nie unikniesz nazywania liczb — tego się przecież uczy się na etapie przepoczwarzania się z niemowlęcia w mowlę. Liczby (i to dziesiętne) są elementem codziennego języka. Nie bałbym się zresztą tego uczenia i internalizacji nazw. Raczej pomyślałbym o tym, żeby uchronić dziecko przed ogłupianiem rachunkowym liczeniem patyczków, tabliczką mnożenia i algorytmami działań pisemnych, tudzież ogłupiającymi ćwiczeniami na znajomość cyfr typu „pokoloruj pięć kratek i w następnej wpisz cyfrę pięć”.
W ostatniej Delcie (http://www.deltami.edu.pl/temat/roznosci/biologia/2014/06/30/Malpy_licza_niedoscigle/) jest bardzo fajna notka o umiejętnościach arytmetycznych makaków. Jest tam link do oryginalnego artykułu w PNAS — nie podaję go tu, żeby nie wpaść w spam. Bardzo warto przeczytać, choć troszkę obawiam się nadinterpretacji!
Poza patentem z woreczkami system dziesiętny świetnie widać na mechanicznych licznikach z kilkoma kółkami, gdzie cały obrót jednego powoduje przeskoczenie następnego o jeden ząbek — jakie są uzywane w wodomierzach, starych mechanicznych licznikach energii, taksometrach, etc.
Paweł Kasprzak
12 lipca 2014 at 17:58No, właśnie o bębenkach myślałem. Kiedyś robiłem takie wizualizacje w komputerze, łącznie z prostymi maszynami rachującymi. Rzeczywiście natomiast chodzi mi o to, żeby się w umyśle dzieciaka pojawił model takiego bębenka i żeby on był ogólny, tj., żeby różne systemy tam mogły wskakiwać bez specjalnej różnicy między jednym, a drugim. A tak, indukcja – popatrz, nie pomyślałem, a to takie proste. Zresztą też pokazuje logikę zapisu. Indukcja tego rodzaju nadaje się przecież do podstawówki! Brawo!
Danusia?
Paweł Kasprzak
12 lipca 2014 at 18:08Śmieszne badanie, fajna notka w Delcie – z tą uwagą o zastosowaniach w reformie oświaty. Zauważ, proszę, że rezusom dość wyraźnie określono cel lekcji 🙂
Janusz
13 lipca 2014 at 00:01@ Paweł i Xawer (ale także Danusia i inni)
Czy mogę zapytać jakie jest Panów/Państwa zdanie (hipoteza robocza) na temat tego czy matematyki warto uczyć i dlaczego tak/nie? Pytam, bo sam mam wątpliwości, a im dłużej o tym myślę, tym bardziej wywracam odpowiedź do góry nogami. „Im bardziej Puchatek zaglądał do środka, tym bardziej Prosiaczka tam nie było.”
Proszę zwrócić uwagę, że nie chodzi o szkolną karykaturę matematyki, którą próbujecie odkręcać. Tu nie mam wątpliwości – takiej nie tylko nie warto, ale wręcz nie należy. A jednak i przy tej opisywanej przez Panów także zaczynam kręcić głową. Bo nie potrafię wskazać jakościowej różnicy pomiędzy zdolnym uczniem kilka rzędów wielkości bardziej zaawansownym niż koń Hans (u którego, w przeciwieństwie do konia, system reguł i technik został całkowicie zinternalizowany) – zob. http://pl.wikipedia.org/wiki/M%C4%85dry_Hans – a takim, któremu rozwiązania szepcze na ucho bogini Namagiri. Jestem świadom, że ten ostatni (Ramanujan) znosił „złote jaja” matematyki, ale sam ten proces zdaje się nie należeć do matematyki. Czy chodzi więc o uprawianie matematyki, by odkryć jak uprawiać matematykę? A jeśli jest to zagadnienie szersze, to czy w procesie twórczym matematyka może przeszkadzać (np. jako odnoszący się sam do siebie formalizm na goedlowych nogach = tautologia)?
Panie Pawle! Proszę mnie poprawić jeśli źlę Pana odczytuję. Wydaje mi się, że choć konio-Hansowe algorytmy szkolne (z braku lepszej ich nazwy na dziś wieczór) wywołują Pańską niechęć, to jednak jednocześnie próbuje Pan znaleźć jakiś lepszy (też) algorytm. Wygląda to trochę tak, jakby widział Pan ograniczenia języka i szukał w zastępstwie jakiegoś meta-języka. Tyle, że ten też okazuje się jedynie algorytmem/regułami z tymi samymi ograniczeniami, które próbuje Pan porzucić. Odnoszę wrażenie, że może Pana czekać czkawka (i oby nie kac moralny). Proszę to odebrać żartobliwie (choć jako mój ogląd sytuacji).
Natomiast bardzo podchodzi mi pomysł z mechanicznymi licznikami/bębenkami. Nie dlatego, że to prosta maszyna licząca (dla intuicji matematycznych), ale dlatego, że to dużo bardziej fizyczny model rzeczywiście oddziałujących ze sobą elementów (intuicja fizyczna). Ja to wykorzystuję by wprowadzić niepewności i błędy urządzenia/użytkownika, fizyczne oddziaływania i przepływ energii itd. W ten sam sposób można by mówić o dowolnie zbudowanym komputerze (zero-jedynki ORAZ stany nieustalone), realnej konstrukcji nośnej (wraz z modulacją pola naprężeń, już wprost nie zero-jedynkową), relacji nartnika z wodą i (by pociągnąć pomysły Xawerego dalej) o morzu materii/antymaterii, mechanice kwantowej aż po mózg/umysł. Zwłaszcza mózg matematyka, w którym przenoszenie w przestrzeni punktu z A do B wiąże się z fizycznym przepływem energii (ignorowanym w intuicjach matematycznych – stąd moje kręcenie głową).
Pozdrawiam
Janusz
14 lipca 2014 at 21:26Za sprawą moderacji, moje pytanie-komentarz powyżej – wstukane jeszcze w sobotę – pojawiło się dopiero niedawno. Podbijam.
Paweł Kasprzak
16 lipca 2014 at 01:56Panie Januszu, mam podobne obawy i one mi sen z powiek spędzają. Rzeczywiście proponuję algorytmy. One mi się wydają sprytniejsze itd., ale przede wszystkim chodzi mi o to, żeby ich było więcej, żeby dawały okazję do uogólnień i budowania w ten sposób abstrakcji w umyśle dziecka. To są dość rozpaczliwe próby, a mówiąc tak opisuję stan własnego umysłu w perspektywie spadającej na mnie właśnie odpowiedzialności za edukacyjny „wstęp do matematyki” dla maluchów w wieku „nauczania początkowego”, w tym dla mojego własnego malucha.
Usiłuję sobie poradzić z tą przemożną, bezrefleksyjną oczywistością, za jaką uchodzi nauka liczb (pamięciowa, w której liczby pamiętane są jak słowa, choć przecież równocześnie nawet najgorsza szkoła ćwiczy dzieci w odnajdowaniu relacji na osi liczbowej itd.), tabliczki mnożenia, układu dziesiętnego itd. Wydaje mi się, że da się w ten sposób przełamać część ograniczeń – choć przecież niekoniecznie znieść wszelkie ograniczenia. Owszem, to są językowe ograniczenia, ale nie tylko o nie chodzi. Mam wrażenie, że się staliśmy ofiarami tego wielkiego sukcesu, jakim jest pozycyjny system dziesiętny, skrzyżowanego z porażką, jaką jest bezrefleksyjnie pamięciowy sposób „opanowywania arytmetyki”. Używamy systemu dziesiętnego i równocześnie w jakimś stopniu nie rozumiemy jego sensu. Kiedy proponuję inne algorytmy, w tym zwłaszcza mnogość systemów oraz strukturalno-symboliczne podejście wyprzedzające powszechnie stosowany zapis i osiąganie wprawy w liczeniu, to mam nadzieję, że różnica będzie jakościowa, a jakość nie bierze się tu z samej tylko ilości, ale z orientacji na abstrakcję.
Wspomniał Pan o zaletach fizycznej reprezentacji modeli i tu z kolei ja mam ambiwalentne odczucia, bo też i sam piszę o budowaniu abstrakcji w dziecięcych umysłach, co dla mnie jest celem może już nawet obsesyjnym. I bardzo powszechnie negowanym w dzisiejszych pomysłach na nowocześnie zreformowany program szkoły. Całkowicie jasne dla wszystkich jest, że małe dzieci (wg Piageta na przedoperacyjnym poziomie) nie umieją myśleć abstrakcyjnie i że właściwym kierunkiem jest tu ten od namacalnego szczegółu do uogólnień. Z Ksawerym wielokrotnie podnosiliśmy tu szereg rozmaitych zastrzeżeń i podawaliśmy wiele bardzo różnych przykładów, jak to, że dzieci mówią o „prawdziwych kółkach”, mając na myśli euklidesowy koncept vs. jego ułomna i „nieprawdziwa” reprezentacja widoczna na rysunku, na którym linia ma grubość itd. Albo, że kiedy dzieci liczą na palcach, to posługują się bijekcją, aksjomatyką Peano itd. Albo, że kiedy mówią „zieleń”, to odwołują się do klasy abstrakcji właśnie. Przy tym ani ja, ani prawdopodobnie tym bardziej Ksawery, nie nawołujemy do kierunku „od ogółu do szczegółu” na poziomie nauczania początkowego (w którym mamy zresztą obaj bardzo skąpe doświadczenie), a tylko chcemy, by przynajmniej ten deklarowany przez reformatorskich „zwolenników namacalności” ruch rzeczywiście się odbywał i żebyśmy tych uogólnień rzeczywiście z dziećmi szukali i w tym kierunku zmierzali, bo abstrakcje są jednym z istotnych celów edukacji w ogóle, a matematycznej zwłaszcza – jak obaj tu od lat już staramy się dowodzić, najwyraźniej zupełnie bezskutecznie, bo nie przekonaliśmy niemal nikogo, w tym np. Danusi Sterny, matematyczki przecież.
Orientację na konkret i jej dziwaczne skutki dobrze widać np. w badaniach PISA, w których testy z matematyki usiłuje się układać właśnie według tego założenia, a rzeczywistym celem testu ma być sprawdzenie, czy uczeń umie stosować rozumowanie w każdej zastanej w realnym życiu sytuacji. Skoro naprawdę w każdej, to każdy „ćwiczebny zestaw” stosowany „w nauczaniu” będzie siłą rzeczy niewystarczający. Ktoś, kto ma mieć tę podobno poszukiwaną w PISA cechę (inną rzeczą jest jakość tych pytań, ich poziom trudności oraz to, co rzeczywiście te testy mierzą, a czego nie mierzą) powinien mieć właśnie tę zupełnie dzisiaj świadomie rugowaną ze szkoły umiejętność tworzenia myślowych modeli na najbardziej ogólnym i od konkretu oderwanym poziomie, umiejętność ich „testowania” pod względem logicznej konstrukcji również na poziomie odległym od konkretu, by dopiero na końcu sprawdzić model w konkretnej sytuacji.
W odniesieniu do liczb i rachowania w nauczaniu początkowym, myślę, że mamy dość mocny dowód (gdyby rzecz zbadano na rozsądnej próbie), że nastawienie na konkret nie sprzyja niczemu poza utrwalaniem schematów. Rzeczywiście chyba nikt z nas nie widział nigdy tego prostego ciągu wielokrotności dziewiątki, który tu powyżej wypisałem i nie dostrzegł w nim nie tylko przecież symetrii, ale bardzo prostej i dobrze widocznej regularności polegającej na tym, że liczba dziesiątek rośnie od 0 do 9, a liczba jedności spada od 9 do 0, co powinno być zrozumiałe bez najmniejszego trudu, a wcale nie jest. Kolejny przykład z obserwacją regularności pojawiania się tych samych liczb w nieco powiększonej tabliczce mnożenia, w której wyniki mnożeń zastępujemy jednocyfrowymi sumami cyfr tych wyników. Sprawdzam co jakiś czas reakcje ludzi na ten widok i nieodmiennie widzę równocześnie zaintrygowanie i bezradność wobec pytania, dlaczego tak się dzieje. Wyjaśnienie jest nieco trudniejsze niż regularność zapisanych wielokrotności dziewiątki, ale to nie jest specjalne trudne. Granicząca z niemożnością trudność oczywiście bierze się stąd, że znaki zapisu liczbowego wydają się nam podobne do znaków alfabetu i większość z nas zakłada, że nie ma związku między liczbą, a np. sumą cyfr jej zapisu, jakbyśmy dodawali znaki, a nie posługiwali się strukturalnymi „kawałkami” liczby – a odkryte regularności zaczynają wyglądać na numerologiczne czary w rodzaju tego, że suma wartości znaków występujących w imieniu Jezusa daje jakąś tam liczbę, co ma odkrywać głęboką prawdę – nie pamiętam, czy o Jezusie, liczbach, czy może o samej kabale.
Bębenki liczników w różnych systemach niedziesiętnych kręcą mnie nie z powodu namacalności. Zakładam, że ona może być pomocna albo nawet rzeczywiście niezbędna na tym etapie edukacji. Ale kombinuję tak, żeby te działające w rzeczywistym świecie były same w sobie systemem abstrakcyjnych pojęć – a tak przecież jest.
Natomiast podobają mi się Pańskie intuicje związane z mechanicznymi lub kwantowo-mechanicznymi mózgami. Używałem tego – choć raczej tylko jako sztuczki retorycznej „wkręcającej” dzieciaki dla postawienia pytań o to, czy myślimy jak maszyna i czy się da zbudować maszynę myślącą oraz co to w ogóle jest myślenie, co nas zaprowadziło w obszary trudne jak diabli, jak twierdzenie Goedla, albo trudne nie tak bardzo, ale za to nowe i wciąż rozwijane jak teoria informacji. Energetyczny wydatek w operowaniu informacją nie zawsze jest ignorowany w matematycznych intuicjach, wydaje mi się – choćby shannonowska entropia opisuje informację w energetycznych kategoriach. A gdyby rozważane w ten sposób informacje zapisać w jakiejś hamiltonowskiej lub podobnej przestrzeni, co powinno się dać zrobić bez większego trudu, to wtedy taka podróż z punktu A do B, o której Pan wspomina, mogłaby reprezentować szeroką klasę ogólnych przekształceń arytmetycznych i logicznych, co daje okazję do nowych rozważań, kto wie, czy nie interesujących. Można spróbować pomyśleć, czy by się nie udało tak skonstruować tej przestrzeni, żeby energie związane ze zmianami entropii tłumaczyły się na pracę przemieszczeń przestrzennych. Ciekawe – może ktoś to już zrobił?
Janusz
13 lipca 2014 at 00:01@ Paweł i Xawer (ale także Danusia i inni)
Czy mogę zapytać jakie jest Panów/Państwa zdanie (hipoteza robocza) na temat tego czy matematyki warto uczyć i dlaczego tak/nie? Pytam, bo sam mam wątpliwości, a im dłużej o tym myślę, tym bardziej wywracam odpowiedź do góry nogami. „Im bardziej Puchatek zaglądał do środka, tym bardziej Prosiaczka tam nie było.”
Proszę zwrócić uwagę, że nie chodzi o szkolną karykaturę matematyki, którą próbujecie odkręcać. Tu nie mam wątpliwości – takiej nie tylko nie warto, ale wręcz nie należy. A jednak i przy tej opisywanej przez Panów także zaczynam kręcić głową. Bo nie potrafię wskazać jakościowej różnicy pomiędzy zdolnym uczniem kilka rzędów wielkości bardziej zaawansownym niż koń Hans (u którego, w przeciwieństwie do konia, system reguł i technik został całkowicie zinternalizowany) – zob. http://pl.wikipedia.org/wiki/M%C4%85dry_Hans – a takim, któremu rozwiązania szepcze na ucho bogini Namagiri. Jestem świadom, że ten ostatni (Ramanujan) znosił „złote jaja” matematyki, ale sam ten proces zdaje się nie należeć do matematyki. Czy chodzi więc o uprawianie matematyki, by odkryć jak uprawiać matematykę? A jeśli jest to zagadnienie szersze, to czy w procesie twórczym matematyka może przeszkadzać (np. jako odnoszący się sam do siebie formalizm na goedlowych nogach = tautologia)?
Panie Pawle! Proszę mnie poprawić jeśli źlę Pana odczytuję. Wydaje mi się, że choć konio-Hansowe algorytmy szkolne (z braku lepszej ich nazwy na dziś wieczór) wywołują Pańską niechęć, to jednak jednocześnie próbuje Pan znaleźć jakiś lepszy (też) algorytm. Wygląda to trochę tak, jakby widział Pan ograniczenia języka i szukał w zastępstwie jakiegoś meta-języka. Tyle, że ten też okazuje się jedynie algorytmem/regułami z tymi samymi ograniczeniami, które próbuje Pan porzucić. Odnoszę wrażenie, że może Pana czekać czkawka (i oby nie kac moralny). Proszę to odebrać żartobliwie (choć jako mój ogląd sytuacji).
Natomiast bardzo podchodzi mi pomysł z mechanicznymi licznikami/bębenkami. Nie dlatego, że to prosta maszyna licząca (dla intuicji matematycznych), ale dlatego, że to dużo bardziej fizyczny model rzeczywiście oddziałujących ze sobą elementów (intuicja fizyczna). Ja to wykorzystuję by wprowadzić niepewności i błędy urządzenia/użytkownika, fizyczne oddziaływania i przepływ energii itd. W ten sam sposób można by mówić o dowolnie zbudowanym komputerze (zero-jedynki ORAZ stany nieustalone), realnej konstrukcji nośnej (wraz z modulacją pola naprężeń, już wprost nie zero-jedynkową), relacji nartnika z wodą i (by pociągnąć pomysły Xawerego dalej) o morzu materii/antymaterii, mechanice kwantowej aż po mózg/umysł. Zwłaszcza mózg matematyka, w którym przenoszenie w przestrzeni punktu z A do B wiąże się z fizycznym przepływem energii (ignorowanym w intuicjach matematycznych – stąd moje kręcenie głową).
Pozdrawiam
Janusz
14 lipca 2014 at 21:26Za sprawą moderacji, moje pytanie-komentarz powyżej – wstukane jeszcze w sobotę – pojawiło się dopiero niedawno. Podbijam.
Paweł Kasprzak
16 lipca 2014 at 01:56Panie Januszu, mam podobne obawy i one mi sen z powiek spędzają. Rzeczywiście proponuję algorytmy. One mi się wydają sprytniejsze itd., ale przede wszystkim chodzi mi o to, żeby ich było więcej, żeby dawały okazję do uogólnień i budowania w ten sposób abstrakcji w umyśle dziecka. To są dość rozpaczliwe próby, a mówiąc tak opisuję stan własnego umysłu w perspektywie spadającej na mnie właśnie odpowiedzialności za edukacyjny „wstęp do matematyki” dla maluchów w wieku „nauczania początkowego”, w tym dla mojego własnego malucha.
Usiłuję sobie poradzić z tą przemożną, bezrefleksyjną oczywistością, za jaką uchodzi nauka liczb (pamięciowa, w której liczby pamiętane są jak słowa, choć przecież równocześnie nawet najgorsza szkoła ćwiczy dzieci w odnajdowaniu relacji na osi liczbowej itd.), tabliczki mnożenia, układu dziesiętnego itd. Wydaje mi się, że da się w ten sposób przełamać część ograniczeń – choć przecież niekoniecznie znieść wszelkie ograniczenia. Owszem, to są językowe ograniczenia, ale nie tylko o nie chodzi. Mam wrażenie, że się staliśmy ofiarami tego wielkiego sukcesu, jakim jest pozycyjny system dziesiętny, skrzyżowanego z porażką, jaką jest bezrefleksyjnie pamięciowy sposób „opanowywania arytmetyki”. Używamy systemu dziesiętnego i równocześnie w jakimś stopniu nie rozumiemy jego sensu. Kiedy proponuję inne algorytmy, w tym zwłaszcza mnogość systemów oraz strukturalno-symboliczne podejście wyprzedzające powszechnie stosowany zapis i osiąganie wprawy w liczeniu, to mam nadzieję, że różnica będzie jakościowa, a jakość nie bierze się tu z samej tylko ilości, ale z orientacji na abstrakcję.
Wspomniał Pan o zaletach fizycznej reprezentacji modeli i tu z kolei ja mam ambiwalentne odczucia, bo też i sam piszę o budowaniu abstrakcji w dziecięcych umysłach, co dla mnie jest celem może już nawet obsesyjnym. I bardzo powszechnie negowanym w dzisiejszych pomysłach na nowocześnie zreformowany program szkoły. Całkowicie jasne dla wszystkich jest, że małe dzieci (wg Piageta na przedoperacyjnym poziomie) nie umieją myśleć abstrakcyjnie i że właściwym kierunkiem jest tu ten od namacalnego szczegółu do uogólnień. Z Ksawerym wielokrotnie podnosiliśmy tu szereg rozmaitych zastrzeżeń i podawaliśmy wiele bardzo różnych przykładów, jak to, że dzieci mówią o „prawdziwych kółkach”, mając na myśli euklidesowy koncept vs. jego ułomna i „nieprawdziwa” reprezentacja widoczna na rysunku, na którym linia ma grubość itd. Albo, że kiedy dzieci liczą na palcach, to posługują się bijekcją, aksjomatyką Peano itd. Albo, że kiedy mówią „zieleń”, to odwołują się do klasy abstrakcji właśnie. Przy tym ani ja, ani prawdopodobnie tym bardziej Ksawery, nie nawołujemy do kierunku „od ogółu do szczegółu” na poziomie nauczania początkowego (w którym mamy zresztą obaj bardzo skąpe doświadczenie), a tylko chcemy, by przynajmniej ten deklarowany przez reformatorskich „zwolenników namacalności” ruch rzeczywiście się odbywał i żebyśmy tych uogólnień rzeczywiście z dziećmi szukali i w tym kierunku zmierzali, bo abstrakcje są jednym z istotnych celów edukacji w ogóle, a matematycznej zwłaszcza – jak obaj tu od lat już staramy się dowodzić, najwyraźniej zupełnie bezskutecznie, bo nie przekonaliśmy niemal nikogo, w tym np. Danusi Sterny, matematyczki przecież.
Orientację na konkret i jej dziwaczne skutki dobrze widać np. w badaniach PISA, w których testy z matematyki usiłuje się układać właśnie według tego założenia, a rzeczywistym celem testu ma być sprawdzenie, czy uczeń umie stosować rozumowanie w każdej zastanej w realnym życiu sytuacji. Skoro naprawdę w każdej, to każdy „ćwiczebny zestaw” stosowany „w nauczaniu” będzie siłą rzeczy niewystarczający. Ktoś, kto ma mieć tę podobno poszukiwaną w PISA cechę (inną rzeczą jest jakość tych pytań, ich poziom trudności oraz to, co rzeczywiście te testy mierzą, a czego nie mierzą) powinien mieć właśnie tę zupełnie dzisiaj świadomie rugowaną ze szkoły umiejętność tworzenia myślowych modeli na najbardziej ogólnym i od konkretu oderwanym poziomie, umiejętność ich „testowania” pod względem logicznej konstrukcji również na poziomie odległym od konkretu, by dopiero na końcu sprawdzić model w konkretnej sytuacji.
W odniesieniu do liczb i rachowania w nauczaniu początkowym, myślę, że mamy dość mocny dowód (gdyby rzecz zbadano na rozsądnej próbie), że nastawienie na konkret nie sprzyja niczemu poza utrwalaniem schematów. Rzeczywiście chyba nikt z nas nie widział nigdy tego prostego ciągu wielokrotności dziewiątki, który tu powyżej wypisałem i nie dostrzegł w nim nie tylko przecież symetrii, ale bardzo prostej i dobrze widocznej regularności polegającej na tym, że liczba dziesiątek rośnie od 0 do 9, a liczba jedności spada od 9 do 0, co powinno być zrozumiałe bez najmniejszego trudu, a wcale nie jest. Kolejny przykład z obserwacją regularności pojawiania się tych samych liczb w nieco powiększonej tabliczce mnożenia, w której wyniki mnożeń zastępujemy jednocyfrowymi sumami cyfr tych wyników. Sprawdzam co jakiś czas reakcje ludzi na ten widok i nieodmiennie widzę równocześnie zaintrygowanie i bezradność wobec pytania, dlaczego tak się dzieje. Wyjaśnienie jest nieco trudniejsze niż regularność zapisanych wielokrotności dziewiątki, ale to nie jest specjalne trudne. Granicząca z niemożnością trudność oczywiście bierze się stąd, że znaki zapisu liczbowego wydają się nam podobne do znaków alfabetu i większość z nas zakłada, że nie ma związku między liczbą, a np. sumą cyfr jej zapisu, jakbyśmy dodawali znaki, a nie posługiwali się strukturalnymi „kawałkami” liczby – a odkryte regularności zaczynają wyglądać na numerologiczne czary w rodzaju tego, że suma wartości znaków występujących w imieniu Jezusa daje jakąś tam liczbę, co ma odkrywać głęboką prawdę – nie pamiętam, czy o Jezusie, liczbach, czy może o samej kabale.
Bębenki liczników w różnych systemach niedziesiętnych kręcą mnie nie z powodu namacalności. Zakładam, że ona może być pomocna albo nawet rzeczywiście niezbędna na tym etapie edukacji. Ale kombinuję tak, żeby te działające w rzeczywistym świecie były same w sobie systemem abstrakcyjnych pojęć – a tak przecież jest.
Natomiast podobają mi się Pańskie intuicje związane z mechanicznymi lub kwantowo-mechanicznymi mózgami. Używałem tego – choć raczej tylko jako sztuczki retorycznej „wkręcającej” dzieciaki dla postawienia pytań o to, czy myślimy jak maszyna i czy się da zbudować maszynę myślącą oraz co to w ogóle jest myślenie, co nas zaprowadziło w obszary trudne jak diabli, jak twierdzenie Goedla, albo trudne nie tak bardzo, ale za to nowe i wciąż rozwijane jak teoria informacji. Energetyczny wydatek w operowaniu informacją nie zawsze jest ignorowany w matematycznych intuicjach, wydaje mi się – choćby shannonowska entropia opisuje informację w energetycznych kategoriach. A gdyby rozważane w ten sposób informacje zapisać w jakiejś hamiltonowskiej lub podobnej przestrzeni, co powinno się dać zrobić bez większego trudu, to wtedy taka podróż z punktu A do B, o której Pan wspomina, mogłaby reprezentować szeroką klasę ogólnych przekształceń arytmetycznych i logicznych, co daje okazję do nowych rozważań, kto wie, czy nie interesujących. Można spróbować pomyśleć, czy by się nie udało tak skonstruować tej przestrzeni, żeby energie związane ze zmianami entropii tłumaczyły się na pracę przemieszczeń przestrzennych. Ciekawe – może ktoś to już zrobił?
Xawer
14 lipca 2014 at 22:10Odpowiem Panu: trzy razy „tak” — z trzech przyczyn.
Pierwsza, to moje przekonanie o sensie auksyliarności edukacji.
Rodzice z własnej woli płacą mi za uczenie ich dzieci matematyki, ergo: sami uważają to za rzecz cenną bardziej, niż banknot, który wyjmują z portfela. Cieszę się, że mogę tę ich (i ich dzieci, bo lubia te zajęcia) potrzebę spełnić.
Druga, to że uważam matematykę za fundament kulturowy cywilizowanego świata i cywilizowanego człowieka. Czytanie Euklidesa czyni człowieka cywilizowanym nawet bardziej, niż czytanie Eurypidesa (choć temu ostatniemu ani trochę nie odbieram racji bytu, wprost przeciwnie, marzy mi się, żeby jak najwięcej ludzi go czytało albo oglądało na scenie…) I czuję dobro w podtrzymywaniu tej kultury. Choć mam tu dużo mniej zapędu misyjnego, niż Paweł.
Trzecia wreszcie, to że matematyka jest po prostu treningiem w uporządkowanym myśleniu, logice i rygoryzmie intelektualnym, którego tak brakuje w postmodernistycznym świecie — wystarczy rozejrzeć się dookoła. A które znów uważam za dobra samoistne — niezależnie od ich znikomej praktycznej wartości.
Proszę nie przeceniać konia Hansa! On bynajmniej nie liczył, tylko sprawnie odczytywał minimalne i podświadome sugestie dawane mu przez jego tresera von Ostena. Ale już umiejętności arytmetyczne makaków, o których tu komentowałem niedawno, wydają się być prawdziwe.
Robert Raczyński
15 lipca 2014 at 08:46Wszystkie trzy „tak” do mnie przemawiają, ale o ile dwa pierwsze są raczej natury osobistej, trzecie uderza w sedno. Racjonalizm staje się niemodny i choć nie da się z ludzkiej mentalności usunąć składowej irracjonalnej (musi pełnić jakąś rolę adaptacyjną), trzeba dbać by nie przeważała ona w dyskursie społecznym.
Xawer
16 lipca 2014 at 00:12Bardzo polecam też
http://books.google.pl/books/about/Euklidesa_Pocz%C4%85tk%C3%B3w_geometryi_ksi%C4%85g_o.html?id=vaQ-AAAAcAAJ&redir_esc=y
— wstęp do „Elementów” Euklidesa, pióra Józefa Czecha, professora w Akademii Krakowskiey, który prawie 200 lat temu (w 1817) przetłumaczył Euklidesa na polski. A we wstępie uzasadnił sens właśnie takiego uczenia, ku racjonalności myślenia, o jakie tu Robert się upomina.
Uważaiąc nauki matematyczne, jako nayskuteczniey pomagaiące do doskonalenia władz umysłowych, łatwo się przekonamy, że w niech wsystkiego należy uczyć gruntownie; bo uczyć je powierzchownie iest to iedno, co uczyć niepożytecznie. […]
Ale żadna z umieiętności ludzkich nie może do rozwinięcia rozumu tak skutecznie pomódz, iak Geometrya początkowa wzięta w tey prostocie, porządku i ścisłości, iak nam ją ze starożytnych mędrców zebrał i ułożył Euklides.
Xawer
14 lipca 2014 at 22:10Odpowiem Panu: trzy razy „tak” — z trzech przyczyn.
Pierwsza, to moje przekonanie o sensie auksyliarności edukacji.
Rodzice z własnej woli płacą mi za uczenie ich dzieci matematyki, ergo: sami uważają to za rzecz cenną bardziej, niż banknot, który wyjmują z portfela. Cieszę się, że mogę tę ich (i ich dzieci, bo lubia te zajęcia) potrzebę spełnić.
Druga, to że uważam matematykę za fundament kulturowy cywilizowanego świata i cywilizowanego człowieka. Czytanie Euklidesa czyni człowieka cywilizowanym nawet bardziej, niż czytanie Eurypidesa (choć temu ostatniemu ani trochę nie odbieram racji bytu, wprost przeciwnie, marzy mi się, żeby jak najwięcej ludzi go czytało albo oglądało na scenie…) I czuję dobro w podtrzymywaniu tej kultury. Choć mam tu dużo mniej zapędu misyjnego, niż Paweł.
Trzecia wreszcie, to że matematyka jest po prostu treningiem w uporządkowanym myśleniu, logice i rygoryzmie intelektualnym, którego tak brakuje w postmodernistycznym świecie — wystarczy rozejrzeć się dookoła. A które znów uważam za dobra samoistne — niezależnie od ich znikomej praktycznej wartości.
Proszę nie przeceniać konia Hansa! On bynajmniej nie liczył, tylko sprawnie odczytywał minimalne i podświadome sugestie dawane mu przez jego tresera von Ostena. Ale już umiejętności arytmetyczne makaków, o których tu komentowałem niedawno, wydają się być prawdziwe.
Robert Raczyński
15 lipca 2014 at 08:46Wszystkie trzy „tak” do mnie przemawiają, ale o ile dwa pierwsze są raczej natury osobistej, trzecie uderza w sedno. Racjonalizm staje się niemodny i choć nie da się z ludzkiej mentalności usunąć składowej irracjonalnej (musi pełnić jakąś rolę adaptacyjną), trzeba dbać by nie przeważała ona w dyskursie społecznym.
Xawer
16 lipca 2014 at 00:12Bardzo polecam też
http://books.google.pl/books/about/Euklidesa_Pocz%C4%85tk%C3%B3w_geometryi_ksi%C4%85g_o.html?id=vaQ-AAAAcAAJ&redir_esc=y
— wstęp do „Elementów” Euklidesa, pióra Józefa Czecha, professora w Akademii Krakowskiey, który prawie 200 lat temu (w 1817) przetłumaczył Euklidesa na polski. A we wstępie uzasadnił sens właśnie takiego uczenia, ku racjonalności myślenia, o jakie tu Robert się upomina.
Uważaiąc nauki matematyczne, jako nayskuteczniey pomagaiące do doskonalenia władz umysłowych, łatwo się przekonamy, że w niech wsystkiego należy uczyć gruntownie; bo uczyć je powierzchownie iest to iedno, co uczyć niepożytecznie. […]
Ale żadna z umieiętności ludzkich nie może do rozwinięcia rozumu tak skutecznie pomódz, iak Geometrya początkowa wzięta w tey prostocie, porządku i ścisłości, iak nam ją ze starożytnych mędrców zebrał i ułożył Euklides.
Janusz
16 lipca 2014 at 02:45@ Xawer
Myślę, że rozumiem skąd Pan przychodzi. Jednak Pana odpowiedzi zdają się ortogonalne do moich wątpliwości (przynależą do innej perspektywy) i ich nie rozwiewają. Spróbuję wyjaśnić.
Otóż skłaniam się ku fizycznej interpretacji matematyki, tj. podstawowe jej pojęcia traktuję jako pewne uproszczenia relacji przez nas postrzeganych (krzywię się nieco na słowo idealizacje, które kojarzy mi się z nadawaniem produktom umysłu wyższej rangi niż realiom istniejącym niezależnie od niego; jak Pan być może zauważy, nie jestem zwolennikiem platońskiego świata idei). Te uproszczenia to nic innego jak wyniki jeszcze jednego nieświadomego testu Rorschacha, któremu nieustannie ulegają nasze mózgi, próbując doszukiwać się wzorów i przewidywać (nie)regularności. Zatem te twory umysłu są następnie przetwarzane i przekształcane przez mózg zgodnie z wewnętrznym poczuciem sensu, czyli w emocjonalnej warstwie gry skojarzeń (ponownie nie do końca świadomej). W takim podejściu, logicznym myśleniem moglibyśmy nazwać proces, który próbuje wyodrębnić przekształcenia (kolejne wynikania/transformacje) jako niezależne od stanu wspomnianego emocjonalnego podłoża. Nie wiem czy w takim spojrzeniu na sprawę odnajduje Pan sens.
Proszę zauważyć, że owo wyodrębnianie to w istocie formalizowanie etapów myślenia, a właściwie zaledwie wynikających rezultatów, np. 1 + 1 => proces myślowy => 2. Sam sens rezultatów i prowadzący do nich proces pozostają w warstwie emocjonalnej i nie są ujęte w formalizmie. Czyli nie znaczą wiele dla kogoś, kto tego samego procesu nie przeszedł samodzielnie (ale jak to sprawdzić?). To dość ciekawe zagadnienie prowadzi również do pytania czy można udowodnić, że dowód coś udowadnia (i komu)? A to nie jedyne wątpliwości jakie się u mnie pojawiają.
Wrócę do powyższego paragrafu o fizycznej interpretacji matematyki. Ponieważ proces tworzenia pojęć pierwotnych i budowania logicznych połączeń jest na starcie nieuświadomiony (wszak zaczyna się w bardzo młodym wieku), ewentualne błędy mogą nawarstwiać się i dość szybko zniknąć z pola widzenia. Tzn. owe pojęcia i połączenia (aka aksjomaty) traktowane są tak, jak gdyby były najzupełniej naturalnym fundamentem, a nie wynikiem dość niepewnego i niejednoznacznego procesu abstrahowania (który należało by uwięzić w pętli nieustannego badania/wątpienia). Następuje odwrócenie kota ogonem i stawianie domu na dachu. Jest także niezwykle kuszące, by właściwą emocjonalną grę skojarzeń (asocjacji jednostek psychicznych) wypchnąć poza nawias zainteresowań i kierować się sformalizowaną tabelą prawdy (dwu- czy wielowartościową). Ale nie zapominajmy, że logika nie jest w stanie wykryć błędów interpretacji: garbage in, garbage out.
Być może nie jest to jeszcze czytelne, ale podzielam pogląd Einsteina, iż „o ile twierdzenia matematyczne odnoszą się do rzeczywistości, nie są one pewne, a o ile są pewne, to nie odnoszą się do rzeczywistości”. Innymi słowy, pewność matematyki to tautologia odnosząca się sama do siebie (w psychologii na podobny mechanizm mówią paranoja). Jednak nie stawiam się więc w opozycji „uporządkowane myślenie, logika i rygoryzm intelektualny” vs. „postmodernistyczny świat” (które zrozumiałem jako „albo matematyka albo wszystko wolno”). W moim świecie, intuicja fizyczna jest dużo bardziej wymagająca niż matematyczna, bo nawet od pojęć matematycznych domaga się np. zgodności z zasadami zachowania. Nie jestem w stanie tego opisać, ale moje jednostki psychiczne (moje prywatne pojęcia pierwotne, elementy myśli) są połączone (splątane) „każda z każdą” jak elementy sieci/pola, są nieformalizowalne (tzn. nie umiem ich przekazać żadnym kanałem komunikacyjnym, nawet audiowizualnie), a przede wszystkim mają wszytą niepewność co do ich zgodności z rzeczywistością. I im dłużej myślę o tym, jak się ich nabawiłem, tym bardziej dochodzę do wniosku, że pewność matematyki i odcięcie jej od działania mózgu/rzeczywistości diablo przeszkadza (musiałem sporo odkręcić tego, co początkowo dostałem „w spadku” – samodzielnie, z wewnętrznej potrzeby).
Co nie znaczy, że nie widzę pożytku ze stosowania uproszczeń matematyki (czy jakichkolwiek innych narzędzi, choćby młotka), gdy meritum problemu jest już intuicyjnie odzwierciedlone (empatia w stosunku do dowolnej materii?). Kolejność odwrotna jest błędna, ale dużo bardziej naturalna (do działania bliżej niż do myślenia). Dlatego edukacja wymaga empatycznego umysłu nauczyciela, by wyłapał i odkręcał co też nabroił, próbując wskazywać na (a nie magicznie transferować) pewne zjawiska, fizyczne i psychiczne. A w praktyce: talent rozwija się sam. Stąd też moje wątpliwości przy początkowym pytaniu. I wciąż rozbrzmiewające: przede wszystkim nie szkodzić.
Co do konia Hansa: ja raczej nie doceniłem zdolnego ucznia z mojego przykładu (proszę przeczytać raz jeszcze) i sprowadziłem go do poziomu konia. Bo co jeśli jesteśmy jak ten Hans i zamiast samodzielnie obserwować rzeczywistość (i własny umysł), zinternalizowaliśmy podszepty autorytetów? Mechanizm poczucia sensu jest w sposób naturalny przezroczysty dla naszej percepcji – równie dobrze rozwiązania podsuwać pod nos może nam nie bogini Namagiri, ale jakiś chochlik i hochsztapler von Osten (oczywiście personifikuję z braku lepszej możliwości wyrażenia niewyrażalnego).
P.S.
Panie Pawle! Właśnie zauważyłem Pański nocny komentarz. Ponieważ tryb w jakim czytam/piszę jest energetycznie (emocjonalnie) wymagający, nie wiem kiedy będę mógł wszystko przemyśleć w należyty sposób. Proszę o cierpliwość.
Janusz
16 lipca 2014 at 02:45@ Xawer
Myślę, że rozumiem skąd Pan przychodzi. Jednak Pana odpowiedzi zdają się ortogonalne do moich wątpliwości (przynależą do innej perspektywy) i ich nie rozwiewają. Spróbuję wyjaśnić.
Otóż skłaniam się ku fizycznej interpretacji matematyki, tj. podstawowe jej pojęcia traktuję jako pewne uproszczenia relacji przez nas postrzeganych (krzywię się nieco na słowo idealizacje, które kojarzy mi się z nadawaniem produktom umysłu wyższej rangi niż realiom istniejącym niezależnie od niego; jak Pan być może zauważy, nie jestem zwolennikiem platońskiego świata idei). Te uproszczenia to nic innego jak wyniki jeszcze jednego nieświadomego testu Rorschacha, któremu nieustannie ulegają nasze mózgi, próbując doszukiwać się wzorów i przewidywać (nie)regularności. Zatem te twory umysłu są następnie przetwarzane i przekształcane przez mózg zgodnie z wewnętrznym poczuciem sensu, czyli w emocjonalnej warstwie gry skojarzeń (ponownie nie do końca świadomej). W takim podejściu, logicznym myśleniem moglibyśmy nazwać proces, który próbuje wyodrębnić przekształcenia (kolejne wynikania/transformacje) jako niezależne od stanu wspomnianego emocjonalnego podłoża. Nie wiem czy w takim spojrzeniu na sprawę odnajduje Pan sens.
Proszę zauważyć, że owo wyodrębnianie to w istocie formalizowanie etapów myślenia, a właściwie zaledwie wynikających rezultatów, np. 1 + 1 => proces myślowy => 2. Sam sens rezultatów i prowadzący do nich proces pozostają w warstwie emocjonalnej i nie są ujęte w formalizmie. Czyli nie znaczą wiele dla kogoś, kto tego samego procesu nie przeszedł samodzielnie (ale jak to sprawdzić?). To dość ciekawe zagadnienie prowadzi również do pytania czy można udowodnić, że dowód coś udowadnia (i komu)? A to nie jedyne wątpliwości jakie się u mnie pojawiają.
Wrócę do powyższego paragrafu o fizycznej interpretacji matematyki. Ponieważ proces tworzenia pojęć pierwotnych i budowania logicznych połączeń jest na starcie nieuświadomiony (wszak zaczyna się w bardzo młodym wieku), ewentualne błędy mogą nawarstwiać się i dość szybko zniknąć z pola widzenia. Tzn. owe pojęcia i połączenia (aka aksjomaty) traktowane są tak, jak gdyby były najzupełniej naturalnym fundamentem, a nie wynikiem dość niepewnego i niejednoznacznego procesu abstrahowania (który należało by uwięzić w pętli nieustannego badania/wątpienia). Następuje odwrócenie kota ogonem i stawianie domu na dachu. Jest także niezwykle kuszące, by właściwą emocjonalną grę skojarzeń (asocjacji jednostek psychicznych) wypchnąć poza nawias zainteresowań i kierować się sformalizowaną tabelą prawdy (dwu- czy wielowartościową). Ale nie zapominajmy, że logika nie jest w stanie wykryć błędów interpretacji: garbage in, garbage out.
Być może nie jest to jeszcze czytelne, ale podzielam pogląd Einsteina, iż „o ile twierdzenia matematyczne odnoszą się do rzeczywistości, nie są one pewne, a o ile są pewne, to nie odnoszą się do rzeczywistości”. Innymi słowy, pewność matematyki to tautologia odnosząca się sama do siebie (w psychologii na podobny mechanizm mówią paranoja). Jednak nie stawiam się więc w opozycji „uporządkowane myślenie, logika i rygoryzm intelektualny” vs. „postmodernistyczny świat” (które zrozumiałem jako „albo matematyka albo wszystko wolno”). W moim świecie, intuicja fizyczna jest dużo bardziej wymagająca niż matematyczna, bo nawet od pojęć matematycznych domaga się np. zgodności z zasadami zachowania. Nie jestem w stanie tego opisać, ale moje jednostki psychiczne (moje prywatne pojęcia pierwotne, elementy myśli) są połączone (splątane) „każda z każdą” jak elementy sieci/pola, są nieformalizowalne (tzn. nie umiem ich przekazać żadnym kanałem komunikacyjnym, nawet audiowizualnie), a przede wszystkim mają wszytą niepewność co do ich zgodności z rzeczywistością. I im dłużej myślę o tym, jak się ich nabawiłem, tym bardziej dochodzę do wniosku, że pewność matematyki i odcięcie jej od działania mózgu/rzeczywistości diablo przeszkadza (musiałem sporo odkręcić tego, co początkowo dostałem „w spadku” – samodzielnie, z wewnętrznej potrzeby).
Co nie znaczy, że nie widzę pożytku ze stosowania uproszczeń matematyki (czy jakichkolwiek innych narzędzi, choćby młotka), gdy meritum problemu jest już intuicyjnie odzwierciedlone (empatia w stosunku do dowolnej materii?). Kolejność odwrotna jest błędna, ale dużo bardziej naturalna (do działania bliżej niż do myślenia). Dlatego edukacja wymaga empatycznego umysłu nauczyciela, by wyłapał i odkręcał co też nabroił, próbując wskazywać na (a nie magicznie transferować) pewne zjawiska, fizyczne i psychiczne. A w praktyce: talent rozwija się sam. Stąd też moje wątpliwości przy początkowym pytaniu. I wciąż rozbrzmiewające: przede wszystkim nie szkodzić.
Co do konia Hansa: ja raczej nie doceniłem zdolnego ucznia z mojego przykładu (proszę przeczytać raz jeszcze) i sprowadziłem go do poziomu konia. Bo co jeśli jesteśmy jak ten Hans i zamiast samodzielnie obserwować rzeczywistość (i własny umysł), zinternalizowaliśmy podszepty autorytetów? Mechanizm poczucia sensu jest w sposób naturalny przezroczysty dla naszej percepcji – równie dobrze rozwiązania podsuwać pod nos może nam nie bogini Namagiri, ale jakiś chochlik i hochsztapler von Osten (oczywiście personifikuję z braku lepszej możliwości wyrażenia niewyrażalnego).
P.S.
Panie Pawle! Właśnie zauważyłem Pański nocny komentarz. Ponieważ tryb w jakim czytam/piszę jest energetycznie (emocjonalnie) wymagający, nie wiem kiedy będę mógł wszystko przemyśleć w należyty sposób. Proszę o cierpliwość.
Xawer
16 lipca 2014 at 07:54Nie widzę tej opozycji pomiędzy matematyką a fizyką, którą Pan tu przytacza. To są zupełnie różne nauki i co innego znaczy pojęcie prawdy w każdej z nich. Nie sądzę jednak, by blog Danusi był najlepszym miejscem do dyskutowania metafizyce i interpretacji pojęcia prawdy w różnych naukach.
Nie rozumiem związku pomiędzy wyznawaną metafizyczną interpretacją matematyki, a postawionym przez Pana pytaniem o sens uczenia matematyki. Ten sens istnieje niezależnie od tego, czy bytom matematycznym przypisuje się byt realny, czy też nie. Podobnie, jak niezależnie od poglądu w gorącym niegdyś sporze o uniwersalia, wszyscy tymi uniwersaliami się posługiwali i nikt nie postulował, by ucząc dzieci posługiwania się językiem uniwersalia z tego języka wyrugować. Niezależnie od tego, czy uznajemy liczby urojone za byt realny, czy za wymyślną sztuczkę i urojenie matematyków, wszystkie trzy powody, które dałem powyżej, nadają pełen sens uczeniu o nich dzieci.
Xawer
16 lipca 2014 at 07:54Nie widzę tej opozycji pomiędzy matematyką a fizyką, którą Pan tu przytacza. To są zupełnie różne nauki i co innego znaczy pojęcie prawdy w każdej z nich. Nie sądzę jednak, by blog Danusi był najlepszym miejscem do dyskutowania metafizyce i interpretacji pojęcia prawdy w różnych naukach.
Nie rozumiem związku pomiędzy wyznawaną metafizyczną interpretacją matematyki, a postawionym przez Pana pytaniem o sens uczenia matematyki. Ten sens istnieje niezależnie od tego, czy bytom matematycznym przypisuje się byt realny, czy też nie. Podobnie, jak niezależnie od poglądu w gorącym niegdyś sporze o uniwersalia, wszyscy tymi uniwersaliami się posługiwali i nikt nie postulował, by ucząc dzieci posługiwania się językiem uniwersalia z tego języka wyrugować. Niezależnie od tego, czy uznajemy liczby urojone za byt realny, czy za wymyślną sztuczkę i urojenie matematyków, wszystkie trzy powody, które dałem powyżej, nadają pełen sens uczeniu o nich dzieci.
Janusz
19 lipca 2014 at 02:43@ Paweł
Ucieknę się do pewnej analogii, próbując znaleźć punkt zaczepienia do ewentualnej dalszej dyskusji.
Kiedy byłem mały, fascynowały mnie galaretki (do dziś pozostał mi pewien sentyment). Wycinałem z nich małe prostopdałościany, brałem w dłonie i ściskając je w palcach, patrzyłem jak się naprężają (niejednokrotnie do ich rozerwania). Składałem je razem w większe konstrukcje i patrzyłem, jak zaburzenia z jednego punktu przenoszą się na wszystkie elementy. Myślałem nawet o tym, jak ja bym się _czuł_ (podkreślam!), gdybym jeden z prostopdadłościanów zastąpił sobą, tj. jakie naprężenia powinny przenosić się we mnie podstawionym gdzieś w zastępstwie, aby całość cały czas zachowywała się tak samo. To wszystko było oczywiście bardziej emocjonalne niż konkretne/formalne/obiektowe/zmysłowe.
Wiele lat później odkryłem, że te eksperymenty myślowe były dla mojego umysłu nie do przecenienia. Zauważyłem na przykład, że rozważając jakieś zagadnienie fizyczne czy psychologiczne, starałem się przetłumaczyć je na moje dziecinne zabawy i skonstruować je z analogicznych klocków galaretki. Ale bez galaretki i bez klocków! Te konkretne formy zniknęły (lub raczej stały się drugorzędne i zamieniałem je w niemal dowolne inne), a główne skrzypce grały fizycznie/psychicznie odczuwalne(!) przeze mnie interakcje pomiędzy elementami. W swojej głowie, nie do końca świadomie, tworzyłem nieuchwytną konkretnie reprezentację zagadnienia i wstawiałem siebie w różne punkty takiego systemu/sieci/konstrukcji jako emocjonalny miernik przepływu oddziaływań (mechanicznych, elektromagnetycznych czy społecznych).
Mniej więcej tak można myśleć o dowolnym problemie, np. w chemii lub w edukacji (relacji nauczyciel-uczeń). Nawet o twierdzeniu Pitagorasa. Proszę sobie wyobrazić trójkątne pudełko wypełnione gazem, który wywiera ciśnienie na jego ścianki. Można poczuć działające siły, które muszą się równoważyć, by pudełko zostało w spoczynku. Kontynując to „propriocepcyjne doświadczenie” balansowania różnie skierowanych sił, można dojść do całkowicie aformalnego wyczucia twierdzenia Pitagorasa (i jego uogólnienia na dowolne kąty i kształty naczynia). Oczywiście, taką ścieżkę rozumowania można sformalizować i ubrać w zestawy równań lub diagramów, ale to całkowicie minie się z celem tego przykładu. Bo chodzi o różnicę pomiędzy odczuwaniem przez Pana własnej dłoni a jej wizualnym postrzeganiem; pomiędzy prowadzeniem dłoni w przestrzeni, aby złapać rzucone do nas jabłko, a programowaniem (implementowaniem algorytmu) ramienia robota, by wykonał tę samą czynność. To są dwa diametralnie różne tryby pracy mózgu, które ja określam jako myślenie abstrakcyjne (emocjonalne/polowe) vs. myślenie konkretne (formalne/korpuskularne/obiektowe). Oczywiście, w rzeczywistości mózg przełącza się (w czasie i przestrzeni) między jednym a drugim trybem i następuje zjawisko podobne do synestezji różnych wrażeń (dlatego np. słowa zdają się nieść treść).
W Pańskim podejściu, pomimo występowania słów „abstrakcyjne” i „konkretne”, widzę tylko jeden tryb percepcji, rozciągnięty pomiędzy „ogółem” i „szczegółem”. Czy percypowane drewniane koło młyńskie pana Janka spod 7-ki jest konkretem, a obieranie go ze szczegółów i poszczególnych cech zamienia je w abstrakt? Czy można określić, w jakim stopniu powinienem uprościć (uogólnić) mój model, by mówić o abstrakcie? A w drugą stronę tej zabawy: o konkrecie?
W moim podejściu, takie idealizowanie/detalowanie jest ciągle konkretne, niezależnie od stopnia uogólnienia. Tzn. niezależnie czy liczy Pan na palcach, czy w krainie uniwersaliów, wciąż jest to poruszanie się w warstwie korpuskularnej/stykowej/wizualnej z pominięciem emocjonalnych/polowych oddziaływań, o jakich pisałem na samym początku. Może pozbędzie się Pan z myślenia jabłek, ale wciąż zostaną Panu inne formy (cyfry, bity, geometrie itd.) i programowalne w PC-skrzynce algorytmy ich przetwarzania. Nic dziwnego, że może to (zajmowanie się matematyką) być ewidentnie nudne, skoro można je zostawić nawet kalkulatorowi. Jednak, jak sądzę, podświadomie czuje Pan, że może być również niezwykle emocjonujące. Co takim czyni je dla Pana?
A w bębenkach liczników nie chodziło o ich namacalność (konkret), ale o wzajemne oddziaływania (abstrakt), jak w powyższym pudełku Pitagorasa. To dokładnie jak próba wyjaśnienia czym jest wnętrze cegły Feynmana lub próba odpowiedzi na pytanie „jak to jest być nietoperzem?” Nagela. Jeśli cegłę/nietoperza oglądać/ostukać/przeciąć, to w rezultacie wciąż widać tylko zewnętrzną powierzchnię. Ale można też bawić się w empatię w stosunku do „galaretki” i poczuć jak to jest być w środku/być nią. Konkret jest łatwo przekazywalny, abstrakt wcale i wymaga znacznie więcej pracy umysłowej (zupełnie innego rodzaju niż w matematyce).
Paweł Kasprzak
20 lipca 2014 at 14:45Jeśli np. Tegmark ma rację, to problem i rozróżnienie chyba znika, choć głowy bym nie dał. W każdym razie wydaje mi się, że idealizowanie / detalowanie u Tegmarka jest zawsze konkretne i zawsze niekonkretne w równym stopniu, bo rozróżnianie między jednym, a drugim traci sens. Choćby dlatego, że epistemologiczna perspektywa przestaje się różnić od ontologicznej. Chyba.
Pudełko Pitagorasa – pomimo, że to fajny koncept – nie „polega na” fizycznym oddziaływaniu, wydaje mi się. Co w sporej części odpowiada na pytanie, co dla mnie jest ekscytującego w matematyce. Pańskie podejrzenie – choć nie całkiem wprost wyrażone – że tym czymś ekscytującym będzie intuicja, że jednak kalkulator lub inna maszyna tu nie wystarczą – jest całkiem trafne, choć znów ograniczeniem jest tu hipoteza Tegmarka i chyba kilka innych pomysłów również. Bo u Tegmarka równocześnie wszystko jest maszyną (komputerem w niektórych wersjach explicite formułowanych w ten sposób), a równocześnie nic nią nie jest (tautologicznie, bo bycie maszyną przestaje być kryterium wyróżniającym cokolwiek).
Pudełko Pitagorasa działa niezależnie od tego, czy mamy do czynienia z gazem i jego ciśnieniem, czy np. z grawitacją (choć inaczej by je należało zaprojektować). Pitagorejskie kwadraty i sumy kwadratów określają kształt przestrzeni i to ona tu „działa”. Z powodów przestrzennych, a nie ze szczególnych własności grawitacji, czy elektryczności – natężenia pól spadają z kwadratem odległości, a nie w żaden inny sposób. Jest takie fajne spostrzeżenie ks. prof. Hellera, że gdyby w wykładniku potęgowym zamiast dwójki stało we wzorze na gratitację choćby 1.98, to ruch planet zwariowałby tak, że być może stałby się nieprzewidywalny i żaden Newton ani Keppler, gdyby nawet mogli przeżyć taką kosmiczną rewolucję, z pewnością nie byliby w stanie dostrzeć żadnych ogólnych praw rządzących mechaniką nieba. O tyle nietrafny wydaje mi się ów przykład mojego ulubionego katolickiego księdza, że to oczywiście przestrzeń rządzi obserwowaną harmonią, a nie same tylko wykładniki potęg – bo one z niej najzwyczajniej wynikają i nie mogą być inne. Gdyby tę przestrzeń na innych matematycznych paradygmatach oprzeć (tu wysiadam – to Heller rozumie matematyczne idee np. teorii strun, ja nie bardzo), to z pewnością wykładniki i wszystko inne zmieniłoby się również.
Moja intuicja – całkiem zresztą bezrefleksyjna, a pewnie warto się zastanowić – jest taka, że właśnie przestrzeń jest matematyką. W równaniach Maxwella widać to równie dobrze, jak w mechanice Newtona, czy Einsteina. Dopiero w fizyce kwantowej coś istotnego się tu załamuje i to coś trzeba by było dobrze zrozumieć. No, ale nie ja jeden nie rozumiem tu niczego 🙂
Odżeglowaliśmy w kosmos we wpisie, w którym Danusia Sterna dzieli się spostrzeżeniami, jak to jest być uczniem. Jest taki fajny tekst (chyba) nieprzetłumaczalny na polski – kosmolog oświadcza, że „Apart from matter, anti-matter and dark matter we have recelntly discovered large ammounts of doesn’t matter that has no impact on the universe whatsoever”. Nie chcę powiedzieć, że gadamy tu nie na temat, choć z pewnością ogromna większość z tego niezbyt licznego grona, które tu w ogóle zagląda (sprawdziłem właśnie: 561 osób otworzyło ten wpis według niezbyt precezyjnego narzędzia, które tu zainstaloano), nie będzie wiedziało, co to ma wspólnego z tematem.
Związek istnieje i widać go np. w Pańskim końcowym spostrzeżeniu, że konkret (a trzeba pamiętać, że rozumiemy go tu specyficznie i bardzo różnie od powszechnych intuicji) jest łatwo przekazywalny, a abstrakt wcale. Nieprzekazywalność jest prawdopodobnie jakąś definicyjną cechą abstrakcji, całkowicie się zgadzam. Penrose opowiada o swoich kłopotach w porozumiewaniu się z kolegami. Marzył, że kiedy trafi na studia pomiędzy matematyków, będzie się wreszcie mógł dogadać bez kłopotów i rozczarował się srodze, bo się okazało, że jest jeszcze gorzej. Penrose (jawnie realista, a choć niezupełnie platoński, to jednak bliski) mówi wprost o iluminacyjnym wglądzie w matematyczną rzeczywistość, istniejącą obiektywnie gdzieś niezależnie od niego. Ja nie wiem, czy istotą tej rzeczystości są oddziaływania na ścianki pudełka Pitagorasa albo pomiędzy trybikami bębenków liczników, czy może tą istotą jest coś, co te oddziaływania opisuje – jak sądziłem dotychczas, bo to Pan pierwszy każe mi to przemyśleć, proszę sobie wyobrazić. Dla mnie to jest zresztą problem mniej istotny niż przekonanie, że owa „ezoteryczna istota” jest poza mną i ode mnie niezależna, choć to jest przekonanie z gatunku religijnych.
W każdym razie to, czym ów wgląd jest i kiedy się ma szansę pojawić oraz warta zanotowania prawda (bo to chyba prawda) o nieprzekazywalności abstraktu – to są kwestie ważne, jeśli się myśli o kształceniu rozumianym jako kształtowanie podstawowych pojęć i intuicji. Pański przykład z galaretkami bardzo dobrze to obrazuje. Mnie się wydaje, że o galaretkach trzeba w szkole myśleć koniecznie. Choć się oczywiście obawiam, że odpowiedzią na postulaty tego rodzaju będzie raczej kaftan bezpieczeństwa. Panu również radzę uważać. Licho nie śpi.
Robert Raczyński
21 lipca 2014 at 06:13” konkret […] jest łatwo przekazywalny, a abstrakt wcale.” To chyba bardziej tłumaczy biologia zmysłów niż filozofia. Jesteśmy skazani na przedzieranie się przez i obmacywanie rzeczywistości, mając coraz większą pewność, że ślizgamy się jedynie po „powierzchni”. Jednocześnie możemy zakładać, że jeśli nasze mózgi działają „matematycznie”, to są pochodną „matematyczności” wszechświata… Mimo to, wątpię żeby jakiś rodzaj żelków zastąpił wkrótce szkolne patyczki lub zaczął z nimi koegzystować – uniwersalizm języka matematyki nie przekłada się na powszechność jego stosowania, tak jak demokracja nie przekłada się bezpośrednio na dobrobyt. Do tego potrzebny byłby pewien rodzaj powszechnej synestezji, a na to ewolucyjnie się nie zanosi, bo „powierzchnia” zupełnie wystarcza do trwania gatunku.
Janusz
2 sierpnia 2014 at 21:37@Paweł Kasprzak,
Tydzień temu napisałem dla Pana odpowiedź i posłałem ją na Pański blog, jednak do dziś nie została ona opublikowana. Nie wiem czy zawaliła technologia, zadziałała cenzura, czy po prostu nie zaglądał Pan jeszcze na swoją stronę. Będę wdzięczny za komentarz.
Danusia
2 sierpnia 2014 at 21:51Panie Januszu
Mam nadzieję, że Paweł się odezwie i wyjaśni. Może pojechał na wakacje?
Danuta
Janusz
19 lipca 2014 at 02:43@ Paweł
Ucieknę się do pewnej analogii, próbując znaleźć punkt zaczepienia do ewentualnej dalszej dyskusji.
Kiedy byłem mały, fascynowały mnie galaretki (do dziś pozostał mi pewien sentyment). Wycinałem z nich małe prostopdałościany, brałem w dłonie i ściskając je w palcach, patrzyłem jak się naprężają (niejednokrotnie do ich rozerwania). Składałem je razem w większe konstrukcje i patrzyłem, jak zaburzenia z jednego punktu przenoszą się na wszystkie elementy. Myślałem nawet o tym, jak ja bym się _czuł_ (podkreślam!), gdybym jeden z prostopdadłościanów zastąpił sobą, tj. jakie naprężenia powinny przenosić się we mnie podstawionym gdzieś w zastępstwie, aby całość cały czas zachowywała się tak samo. To wszystko było oczywiście bardziej emocjonalne niż konkretne/formalne/obiektowe/zmysłowe.
Wiele lat później odkryłem, że te eksperymenty myślowe były dla mojego umysłu nie do przecenienia. Zauważyłem na przykład, że rozważając jakieś zagadnienie fizyczne czy psychologiczne, starałem się przetłumaczyć je na moje dziecinne zabawy i skonstruować je z analogicznych klocków galaretki. Ale bez galaretki i bez klocków! Te konkretne formy zniknęły (lub raczej stały się drugorzędne i zamieniałem je w niemal dowolne inne), a główne skrzypce grały fizycznie/psychicznie odczuwalne(!) przeze mnie interakcje pomiędzy elementami. W swojej głowie, nie do końca świadomie, tworzyłem nieuchwytną konkretnie reprezentację zagadnienia i wstawiałem siebie w różne punkty takiego systemu/sieci/konstrukcji jako emocjonalny miernik przepływu oddziaływań (mechanicznych, elektromagnetycznych czy społecznych).
Mniej więcej tak można myśleć o dowolnym problemie, np. w chemii lub w edukacji (relacji nauczyciel-uczeń). Nawet o twierdzeniu Pitagorasa. Proszę sobie wyobrazić trójkątne pudełko wypełnione gazem, który wywiera ciśnienie na jego ścianki. Można poczuć działające siły, które muszą się równoważyć, by pudełko zostało w spoczynku. Kontynując to „propriocepcyjne doświadczenie” balansowania różnie skierowanych sił, można dojść do całkowicie aformalnego wyczucia twierdzenia Pitagorasa (i jego uogólnienia na dowolne kąty i kształty naczynia). Oczywiście, taką ścieżkę rozumowania można sformalizować i ubrać w zestawy równań lub diagramów, ale to całkowicie minie się z celem tego przykładu. Bo chodzi o różnicę pomiędzy odczuwaniem przez Pana własnej dłoni a jej wizualnym postrzeganiem; pomiędzy prowadzeniem dłoni w przestrzeni, aby złapać rzucone do nas jabłko, a programowaniem (implementowaniem algorytmu) ramienia robota, by wykonał tę samą czynność. To są dwa diametralnie różne tryby pracy mózgu, które ja określam jako myślenie abstrakcyjne (emocjonalne/polowe) vs. myślenie konkretne (formalne/korpuskularne/obiektowe). Oczywiście, w rzeczywistości mózg przełącza się (w czasie i przestrzeni) między jednym a drugim trybem i następuje zjawisko podobne do synestezji różnych wrażeń (dlatego np. słowa zdają się nieść treść).
W Pańskim podejściu, pomimo występowania słów „abstrakcyjne” i „konkretne”, widzę tylko jeden tryb percepcji, rozciągnięty pomiędzy „ogółem” i „szczegółem”. Czy percypowane drewniane koło młyńskie pana Janka spod 7-ki jest konkretem, a obieranie go ze szczegółów i poszczególnych cech zamienia je w abstrakt? Czy można określić, w jakim stopniu powinienem uprościć (uogólnić) mój model, by mówić o abstrakcie? A w drugą stronę tej zabawy: o konkrecie?
W moim podejściu, takie idealizowanie/detalowanie jest ciągle konkretne, niezależnie od stopnia uogólnienia. Tzn. niezależnie czy liczy Pan na palcach, czy w krainie uniwersaliów, wciąż jest to poruszanie się w warstwie korpuskularnej/stykowej/wizualnej z pominięciem emocjonalnych/polowych oddziaływań, o jakich pisałem na samym początku. Może pozbędzie się Pan z myślenia jabłek, ale wciąż zostaną Panu inne formy (cyfry, bity, geometrie itd.) i programowalne w PC-skrzynce algorytmy ich przetwarzania. Nic dziwnego, że może to (zajmowanie się matematyką) być ewidentnie nudne, skoro można je zostawić nawet kalkulatorowi. Jednak, jak sądzę, podświadomie czuje Pan, że może być również niezwykle emocjonujące. Co takim czyni je dla Pana?
A w bębenkach liczników nie chodziło o ich namacalność (konkret), ale o wzajemne oddziaływania (abstrakt), jak w powyższym pudełku Pitagorasa. To dokładnie jak próba wyjaśnienia czym jest wnętrze cegły Feynmana lub próba odpowiedzi na pytanie „jak to jest być nietoperzem?” Nagela. Jeśli cegłę/nietoperza oglądać/ostukać/przeciąć, to w rezultacie wciąż widać tylko zewnętrzną powierzchnię. Ale można też bawić się w empatię w stosunku do „galaretki” i poczuć jak to jest być w środku/być nią. Konkret jest łatwo przekazywalny, abstrakt wcale i wymaga znacznie więcej pracy umysłowej (zupełnie innego rodzaju niż w matematyce).
Paweł Kasprzak
20 lipca 2014 at 14:45Jeśli np. Tegmark ma rację, to problem i rozróżnienie chyba znika, choć głowy bym nie dał. W każdym razie wydaje mi się, że idealizowanie / detalowanie u Tegmarka jest zawsze konkretne i zawsze niekonkretne w równym stopniu, bo rozróżnianie między jednym, a drugim traci sens. Choćby dlatego, że epistemologiczna perspektywa przestaje się różnić od ontologicznej. Chyba.
Pudełko Pitagorasa – pomimo, że to fajny koncept – nie „polega na” fizycznym oddziaływaniu, wydaje mi się. Co w sporej części odpowiada na pytanie, co dla mnie jest ekscytującego w matematyce. Pańskie podejrzenie – choć nie całkiem wprost wyrażone – że tym czymś ekscytującym będzie intuicja, że jednak kalkulator lub inna maszyna tu nie wystarczą – jest całkiem trafne, choć znów ograniczeniem jest tu hipoteza Tegmarka i chyba kilka innych pomysłów również. Bo u Tegmarka równocześnie wszystko jest maszyną (komputerem w niektórych wersjach explicite formułowanych w ten sposób), a równocześnie nic nią nie jest (tautologicznie, bo bycie maszyną przestaje być kryterium wyróżniającym cokolwiek).
Pudełko Pitagorasa działa niezależnie od tego, czy mamy do czynienia z gazem i jego ciśnieniem, czy np. z grawitacją (choć inaczej by je należało zaprojektować). Pitagorejskie kwadraty i sumy kwadratów określają kształt przestrzeni i to ona tu „działa”. Z powodów przestrzennych, a nie ze szczególnych własności grawitacji, czy elektryczności – natężenia pól spadają z kwadratem odległości, a nie w żaden inny sposób. Jest takie fajne spostrzeżenie ks. prof. Hellera, że gdyby w wykładniku potęgowym zamiast dwójki stało we wzorze na gratitację choćby 1.98, to ruch planet zwariowałby tak, że być może stałby się nieprzewidywalny i żaden Newton ani Keppler, gdyby nawet mogli przeżyć taką kosmiczną rewolucję, z pewnością nie byliby w stanie dostrzeć żadnych ogólnych praw rządzących mechaniką nieba. O tyle nietrafny wydaje mi się ów przykład mojego ulubionego katolickiego księdza, że to oczywiście przestrzeń rządzi obserwowaną harmonią, a nie same tylko wykładniki potęg – bo one z niej najzwyczajniej wynikają i nie mogą być inne. Gdyby tę przestrzeń na innych matematycznych paradygmatach oprzeć (tu wysiadam – to Heller rozumie matematyczne idee np. teorii strun, ja nie bardzo), to z pewnością wykładniki i wszystko inne zmieniłoby się również.
Moja intuicja – całkiem zresztą bezrefleksyjna, a pewnie warto się zastanowić – jest taka, że właśnie przestrzeń jest matematyką. W równaniach Maxwella widać to równie dobrze, jak w mechanice Newtona, czy Einsteina. Dopiero w fizyce kwantowej coś istotnego się tu załamuje i to coś trzeba by było dobrze zrozumieć. No, ale nie ja jeden nie rozumiem tu niczego 🙂
Odżeglowaliśmy w kosmos we wpisie, w którym Danusia Sterna dzieli się spostrzeżeniami, jak to jest być uczniem. Jest taki fajny tekst (chyba) nieprzetłumaczalny na polski – kosmolog oświadcza, że „Apart from matter, anti-matter and dark matter we have recelntly discovered large ammounts of doesn’t matter that has no impact on the universe whatsoever”. Nie chcę powiedzieć, że gadamy tu nie na temat, choć z pewnością ogromna większość z tego niezbyt licznego grona, które tu w ogóle zagląda (sprawdziłem właśnie: 561 osób otworzyło ten wpis według niezbyt precezyjnego narzędzia, które tu zainstaloano), nie będzie wiedziało, co to ma wspólnego z tematem.
Związek istnieje i widać go np. w Pańskim końcowym spostrzeżeniu, że konkret (a trzeba pamiętać, że rozumiemy go tu specyficznie i bardzo różnie od powszechnych intuicji) jest łatwo przekazywalny, a abstrakt wcale. Nieprzekazywalność jest prawdopodobnie jakąś definicyjną cechą abstrakcji, całkowicie się zgadzam. Penrose opowiada o swoich kłopotach w porozumiewaniu się z kolegami. Marzył, że kiedy trafi na studia pomiędzy matematyków, będzie się wreszcie mógł dogadać bez kłopotów i rozczarował się srodze, bo się okazało, że jest jeszcze gorzej. Penrose (jawnie realista, a choć niezupełnie platoński, to jednak bliski) mówi wprost o iluminacyjnym wglądzie w matematyczną rzeczywistość, istniejącą obiektywnie gdzieś niezależnie od niego. Ja nie wiem, czy istotą tej rzeczystości są oddziaływania na ścianki pudełka Pitagorasa albo pomiędzy trybikami bębenków liczników, czy może tą istotą jest coś, co te oddziaływania opisuje – jak sądziłem dotychczas, bo to Pan pierwszy każe mi to przemyśleć, proszę sobie wyobrazić. Dla mnie to jest zresztą problem mniej istotny niż przekonanie, że owa „ezoteryczna istota” jest poza mną i ode mnie niezależna, choć to jest przekonanie z gatunku religijnych.
W każdym razie to, czym ów wgląd jest i kiedy się ma szansę pojawić oraz warta zanotowania prawda (bo to chyba prawda) o nieprzekazywalności abstraktu – to są kwestie ważne, jeśli się myśli o kształceniu rozumianym jako kształtowanie podstawowych pojęć i intuicji. Pański przykład z galaretkami bardzo dobrze to obrazuje. Mnie się wydaje, że o galaretkach trzeba w szkole myśleć koniecznie. Choć się oczywiście obawiam, że odpowiedzią na postulaty tego rodzaju będzie raczej kaftan bezpieczeństwa. Panu również radzę uważać. Licho nie śpi.
Robert Raczyński
21 lipca 2014 at 06:13” konkret […] jest łatwo przekazywalny, a abstrakt wcale.” To chyba bardziej tłumaczy biologia zmysłów niż filozofia. Jesteśmy skazani na przedzieranie się przez i obmacywanie rzeczywistości, mając coraz większą pewność, że ślizgamy się jedynie po „powierzchni”. Jednocześnie możemy zakładać, że jeśli nasze mózgi działają „matematycznie”, to są pochodną „matematyczności” wszechświata… Mimo to, wątpię żeby jakiś rodzaj żelków zastąpił wkrótce szkolne patyczki lub zaczął z nimi koegzystować – uniwersalizm języka matematyki nie przekłada się na powszechność jego stosowania, tak jak demokracja nie przekłada się bezpośrednio na dobrobyt. Do tego potrzebny byłby pewien rodzaj powszechnej synestezji, a na to ewolucyjnie się nie zanosi, bo „powierzchnia” zupełnie wystarcza do trwania gatunku.
Janusz
2 sierpnia 2014 at 21:37@Paweł Kasprzak,
Tydzień temu napisałem dla Pana odpowiedź i posłałem ją na Pański blog, jednak do dziś nie została ona opublikowana. Nie wiem czy zawaliła technologia, zadziałała cenzura, czy po prostu nie zaglądał Pan jeszcze na swoją stronę. Będę wdzięczny za komentarz.
Danusia
2 sierpnia 2014 at 21:51Panie Januszu
Mam nadzieję, że Paweł się odezwie i wyjaśni. Może pojechał na wakacje?
Danuta