Nauczanie matematyki

Leży mi na sercu dobre nauczanie matematyki. Myślę o tym od wielu lat. Niestety nie znalazłam jeszcze „czarodziejskiej różdżki”, która odmieniłaby nauczanie matematyki, w tym też moje nauczanie. Wiele osób na całym świecie szuka, błądzi i znowu próbuje. Przeprowadzono wiele badań, ale nie ma wniosków, które by można z pożytkiem wykorzystać. Nadal matematyka jest trudnym i często znienawidzonym przez uczniów szkolnym przedmiotem.
Znam różne przyczyny tej sytuacji, ale ostatnio poznałam nowe. Przeczytałam artykuł w piśmie Sedno Witolda Szwajkowskiego : Pomóżmy matematykom uczyć matematyki. Autor uważa, że powodem jest między innymi to, że matematyki uczą matematycy.
Brzmi to dziwnie, ale autor wyjaśnia, że matematycy posługują się specyficznym językiem, kodem zrozumiałym dla nich, ale niezrozumiałym dla uczniów.  Proponuje nam doświadczenie z odczytaniem słowa polskiego i słowa w obcym języku napisanego odręcznie i niewyraźnie. Ze słowem polskim nie mamy kłopotu, gdyż domyślamy się, które litery są napisane, za to w słowie w obcym języku już nie jesteśmy w stanie tego zrobić. Tak może też być w matematyce. Sformułowanie „jedna trzecia” jest dla ucznia całkowicie niezrozumiałe, jeśli nie wie on, co to jest ułamek.
„Dziecko bez wątpienia zna i potrafi interpretować słowo „jedna”.  Jest to liczebnik główny, łączony z rzeczownikiem rodzaju żeńskiego, np. „jedna dziewczynka” czy „jedna książka”.  Zna też słowo „trzecia” oznaczające liczebnik porządkowy, np. „trzecia dziewczynka” czy „trzecia książka”.  Ale już zestawienie „jedna trzecia” może brzmieć dla dziecka wręcz absurdalnie, ponieważ „trzecia książka” może być tylko „jedna”.  Nie mogą być „dwie trzecie”…  „
„Niedługo dziecko dowiaduje się też, że „jedna trzecia” oznacza też LICZBĘ powstałą z podzielenia jedności PRZEZ trzy.  W języku potocznym dzielimy coś NA ileś części lub POMIĘDZY ileś osób, natomiast liczby w matematyce dzielimy PRZEZ inne liczby.  Od dziecka oczekuje się, że przyjmie to do wiadomości i zapamięta!  Dziecko nie zapyta przecież nauczyciela – DLACZEGO nie można podzielić „na jedną drugą”, skoro można podzielić „na pół”?  Przecież „pół” to inaczej „jedna druga”.  Wyjaśnienie jest proste:  dwa dzielone NA pół, daje jeden, a dwa dzielone PRZEZ pół, czyli jedną drugą – zgodnie z zasadami arytmetyki – daje cztery.”
To tylko fragmenty artykułu, autor przytacza więcej odpowiednich przykładów. Zapraszam na stronę: http://www.ceo.org.pl/portal/b_akademia_sus_skarbiec_akademii_sus_materialy_dla_nauczycieli_doc?docId=59 .
Widać, jak ważne jest, aby w nauczaniu matematyki nie spieszyć się, poświęcić czas na „uwewnętrznienie” wprowadzanych pojęć. Nauczyciele (gonieni programem) szybko przechodzą do zadań i ćwiczeń, a uczniowie starają się kalkować sposoby rozwiązania nie rozumiejąc, o czym właściwie jest mowa. W szkołach waldorfskich sporo czasu poświęca się na rytmiczne wystukiwanie ułamków, w USA przywiązuje się duża wagę do nauczania pojęć kluczowych. Pewnie jest to krok w dobrym kierunku, ale dobrze byłoby, gdyby te sposoby prezentowano w podręcznikach szkolnych.
Autor artykułu omawia też potoczne i matematyczne znaczenie pojęcia ”funkcja”. Są one kompletnie różne i to na pewno jest mylące dla uczniów. A dotyczy tak ważnego pojęcia! Profesor Andrzej Białynicki-Birula mówił, że matematyka jest nauką o funkcjach. W szkole funkcje pojawiają się przy wykresach funkcji linowych i przez dłuższy czas są tylko w tym kontekście używane. Gdy pojawiają się inne funkcje i ich wykresy, robi się ogromne zamieszanie.
Rozmawiałam z innymi nauczycielami na temat cytowanego artykułu, wszyscy widzimy problem, ale zaraz pojawiają się głosy, że trzeba przecież operować  językiem danej dziedziny. Matematyka ma swój język i trzeba się go nauczyć, tak jak innego obcego języka. Aby używać słowa w obcym języku, musimy poznać, co ono znaczy.
Z drugiej strony moje doświadczenie nauczycielskie mówi mi o zasadzie – w matematyce nie zaczynaj od definicji. Najpierw powiąż nowe pojęcia już ze znanymi, pokaż różnice i podobieństwa i dopiero na końcu dojdź wraz z uczniami do definicji.
Uczestniczyłam kiedyś w USA w konferencji nauczycieli matematyki w szkoleniu w którym pokazano wprowadzanie pojęcia liczb pierwszych. Nauczyciel w dwóch kolumnach wypisał pewne liczby, jedna kolumna składała się tylko z liczb pierwszych, a druga tylko ze złożonych. Nauczyciel zapytał nas, czy widzimy, czym się różnią liczby z obu kolumn. Nie od razu, ale po pewnym czasie zauważyliśmy, że te z drugiej kolumny „przez coś się dzielą”. Powoli doszliśmy do charakterystyki liczb z pierwszej kolumny, a potem zastanawialiśmy się, jakie liczby do tej kolumny można jeszcze dopisać. Na koniec dowiedzieliśmy się, że tak scharakteryzowane liczby nazwane zostały przez matematyków  „pierwszymi”. Zauważmy przy okazji, że słowo „pierwsze” nie pasuje intuicyjnie do definicji liczb pierwszych, bo dlaczego np. 4 nie jest pierwsza, choć jest na liście dość blisko, a 11 jest, choć jest umieszczona dalej? Gdybym miała wybór, to wolałabym je nazwać  „prostymi” lub „bezdzielnikowymi”.
Matematycy poznali pojęcie liczby pierwszej bardzo dawno i nie mają żadnych trudności z tym pojęciem, ale dzieci, które poznają dziennie wiele nowych pojęć, na pewno mają z tym kłopoty.
Witold Szwajkowski przedstawia sposób na radzenie sobie z problemem nauczania matematyki, przynajmniej z tym aspektem, o którym pisał w artykule.
„Dyrektor, niezależnie od tego, czy jest matematykiem czy nie, mógłby przecież przeprowadzić eksperyment, w którym nauczyciele matematyki z jego szkoły poprowadzą prawdziwe lekcje matematyki dla… swoich kolegów –  nie matematyków. […] Prawdopodobnie nauczyciele matematyki odkryją, że sposoby, jakimi przekazują wiedzę wykształconym kolegom z przygotowaniem pedagogicznym, nie są tak skuteczne, jak sądzili.  Może w czasie takich lekcji pojawią się odpowiednio wyartykułowane, uprawnione pytania i wątpliwości, w tym wątpliwości związane z nowymi pojęciami i ich nazwami?  Nauczyciele matematyki będą więc mieli szansę dostać informację zwrotną, czy to, co wyjaśniają, jest zrozumiałe. Jeżeli nie – na czym polega problem komunikacyjny.  Informacji takiej nie uzyskają raczej od dzieci, z uwagi na różnicę wieku, wiedzy i doświadczenia, a także ról społecznych.”
Pomysł jest raczej utopijny, bo znając nauczycieli i ich zapracowanie, nie wyobrażam sobie, aby chętnie zgodzili się na lekcje matematyki. Pan Szwajkowski zwrócił uwagę na ważną trudność –  uczniom trudno określić, czego nie rozumieją. Uczeń potrafi powiedzieć – „nie wiem”, „nie rozumiem”, „nie wiem dlaczego” itd., ale trudno mu wyjaśnić, czego naprawdę nie pojmuje. Pamiętam, jak na początku mojej pracy w Politechnice Warszawskiej tłumaczyłam studentce metodę całkowania przez części. Próbowałam różnymi sposobami, mijały godziny i nie posuwałyśmy się do przodu. Na koniec okazało się, że studentka nie potrafiła dodać dwóch ułamków i na tym się zatrzymywała. Mimo że była to osoba dorosłą, nie umiała mi powiedzieć, z czym ma trudność.
Wydaje mi się, że dobrym pomysłem na pokonywanie tego problemu może być wzajemne nauczanie uczniów. Można rozpocząć od polecenia pracy w parach. Jeśli jeden z uczniów czegoś się nauczy, szybciej coś zrozumie, to będzie mógł wytłumaczyć koledze. Zrobi to znacznie lepiej niż nauczyciel, bo właśnie przed chwilą sam musiał przejść proces zrozumienia i pamięta, co może być w tym trudnego. Ja proponowałabym zamiast lekcji nauczycielskiej wzajemne nauczanie uczniów.
Autor wspomnianego artykułu chciałby, aby zmniejszyła się liczba naturalnych analfabetów matematycznych. Jednak nie wydaje mi się, aby lekcja dla dorosłych nauczycieli była skuteczną drogą. Dorośli analfabeci matematyczni są tak skutecznie do matematyki zrażeni, że nie zdecydują się pokonać oporu. Za to możemy się starać nie tworzyć następnych analfabetów.

8 komentarzy

  • avatar

    Wiesław Mariański

    27 lutego 2011 at 19:34

    Widzę inny wielki problem w nauczaniu matematyki. Nazwałbym go „równa jazda”. Szkoła zmusza wszystkich uczniów do uczenia się tego samego materiału w tym samym tempie i stawia każdemu te same wymagania i kryteria oceniania. Dotyczy to wszystkich przedmiotów. Konsekwencje są tragiczne. Z samej biologicznej natury ludzi wynika, że większość z nas ma zdolności i predyspozycje przeciętne lub mniej-niż-przeciętne. Proszę spojrzeć na krzywą Gaussa. A zatem większość uczniów, czyli nas, jest skazana na klęskę w obecnym systemie oceniania. Bo sukcesem są tylko oceny 4,5, i 6. Jak mogę polubić matematykę, jeśli przez około 9 lat otrzymuję informację: jesteś do niczego, nigdy nie będziesz dobry ani bardzo dobry ? Nienawidzę matmy ! Jak obecna szkoła próbuje radzić sobie z tym problemem ? Fatalnie. Ponieważ najważniejszym parametrem jest średnia, to nauczyciel walczy o poprawienie najsłabszych ocen. Czyli dręczy uczniów słabych, a dobrym daje spokój. Zatem ci drudzy nie mają okazji do rozwoju swojego talentu. Czyli równamy w dół. Pisze o tym, np. Witold Kołodziejczyk w http://edukacjaprzyszlosci.blogspot.com/
    No dobrze, to co zrobić żeby matematyka nie przerażała większości i żeby utalentowani mogli robić o wiele więcej niż teraz ? Widzę tylko jedną drogę: rozluźnić system, dać więcej wolności szkole i nauczycielowi. Oni są ekspertami od edukacji i poradzą sobie z tym problemem, znajdą wiele skutecznych metod.
    Jedna z propozycji to uczenie metodą „róbta co chceta”. Oto szkic: nauczyciel przedstawia krótkie objaśnienie zagadnienia – podaje listę zadań do wykonania i mówi: róbcie ! I każdy robi tak jak potrafi, w swoim tempie. Kto nie wie jak zacząć, napotyka na jakąś trudność, nie „wychodzi” mu wynik – pyta. Pyta kolegę albo nauczyciela.
    Proszę spróbować !

  • avatar

    Danuta Sterna

    28 lutego 2011 at 07:56

    Tylko jest mały szczegół – nikt nas nie pyta o zdanie!
    Cały świat zachłysnął się testami i egzaminami. Nawet niektórzy twierdzą, że mierzenie spowoduje poprawę wyników. Tak jakby od ważenia krowy, przybywało jej ciała.
    Nie którzy widzą ślepą uliczkę, w która się światowo pchamy, ale mimo, że król jest nagi, wszyscy zgodnie twierdzą, że ma bogate szaty.
    D

  • avatar

    Halinka Halszka Nocoń

    7 marca 2011 at 17:05

    Witaj Danusiu,
    artykuł ten mocno mnie zaintrygował.
    Jako humanistka powołuję się na słowa angielskiego poety Williama Wordsworth, który napisał, że „Matematyka jest niezależnym światem stworzonym przez czystą inteligencję”. Może ten niezależny świat musi posługiwać się specyficznymi pojęciami, a problem jest w tym, że coraz więcej dzieci nie potrafi funkcjonować na poziomie symbolicznym. Jak przyswoić sobie znaczenie abstrakcyjnych pojęć?
    Jak przejść od od form prostych postrzeganych do form hipotetycznych?
    …?
    A może problem w braku dojrzałości do uczenia się matematyki?

  • avatar

    Danuta Sterna

    8 marca 2011 at 10:46

    Autor artykułu obiecał pisać więcej na ten temat. Będę starała się śledzić i zamieszczać informacje.
    Twoje zdanie jako humanistki jest bardzo cenne w tej kwestii, dla nas matematyków pewne pojęcia są oczywiste i nie widzimy trudności.
    Faktem jest, że matematyce tak samo blisko do filozofii, jak i do nauk ścisłych.
    Jeśli wyjść z założenia, że matematyka jest językiem obcym, to trzeba by było jej uczyć od definicji, a to nie wydaje się najlepsza droga. Dla mnie to lepiej szukać powiązań z rzeczywistością i na nich budować.
    D

  • avatar

    Jurek Kielech

    29 marca 2011 at 13:30

    Gdy przekraczam magiczną ilość 60 godzin pracy z uczniami w tygodniu robi się nieco pogodniej.
    Kto chce może mi głowę zawracać niemal do woli. Kto nie chce – ma prawo się nie przejmować matematyką; krązy sobie po innej orbicie wokół szczęścia – nie śmiałbym mu czynić wstrętów, że obojętny wobec kształtu trajektorii. Wszak posiadł na wyłączność jedno bycie (tak przypuszczam) i przedkłada smak poezji, lub muzyki nad odświętność doznawania nabli i laplasjanów.
    Jego wariactwo jest równie szlachetne jak moje, jego doświadczanie istnienia równie urocze i pełne pasji.
    Gdy Pan Bóg wygasza klatki naszych filmów, pojawiają się w tym samym miejscu inne światy.
    Dobrze, że tyle jest przestrzeni, czasu i możliwości, by bywać szczęśliwym i niechcący nauczyć się „dostatecznie trochę” matematyki.
    J

Dodaj komentarz