Tytułowa sztuczką jest zabawą w „zgadywanie myśli” – dość skuteczny „atraktor”, który wprowadza dzieci w zdumienie zapewniające motywację wystarczającą do tego, by przez chwilę skoncentrować się na rozważaniach rzeczy nieoczywistych i trudnych – zarówno zresztą dla dzieci, jak i dla dorosłych. Na dorosłych atraktor działa również.

Tym, którzy chcieliby uzupełnić zaległości – brakujący dowód twierdzenia odwrotnego: każda liczba o sumie cyfr podzielnej przez 9 jest również podzielna przez 9.

Oto schemat sztuczki z liczbami:

1. Pomyśl dowolną liczbę. Zapisz ją sobie na boku (nikt nie powinien jej widzieć). Weź kalkulator.
2. Do swojej liczby dodaj 7.
3. Wynik pomnóż przez 3.
4. Od rezultatu odejmij 18.
5. Wynik pomnóż przez 3.
6. Dodaj do siebie cyfry wyniku.
7. Jeśli wynik jest dwu lub więcej-cyfrowy, powtórz 6.
8. Jeśli wynik jest jednocyfrowy – wyszło 9, prawda?

Jeśli „badany” pomyślał liczbę \(N\), otrzyma teraz w wyniku tych operacji liczbę \(9N + 9\), czyli \(9(N + 1)\), a zatem coś podzielnego przez 9. Cała procedura z dodawaniem, mnożeniem i odejmowaniem (kroki 2. do 5.) ma oczywiście za jedyne zadanie utrudnić zauważenie tego faktu.

Trick polega zaś właśnie na tym, że – jak to widzieliśmy w poprzedniej części – suma cyfr każdej liczby podzielnej przez 9 jest również podzielna przez 9, więc jej suma cyfr także – aż do jednocyfrowego wyniku, który będzie po prostu dziewiątką. Zawsze. Problem polega teraz na zrozumieniu, dlaczego tak się dzieje. Dzieci bywają na ogół wystarczająco podekscytowane „odczytywaniem myśli”, by wytrzymać wysiłek zrozumienia, które nazwom przywraca sens. Jak i dlaczego to działa?

Jedną z dodatkowych funkcji zagadki, która ujawnia się tu zaraz na starcie, są „wyrażenia algebraiczne”, którymi szkoła katuje dzieci przez chyba większość czasu poświęcanego matematyce. Tu, aby uczynić wstęp do rozszyfrowania sztuczki i wyjaśnienia, jak da się odgadnąć wynik, dziecko musiałoby dostrzec, że \(((N + 7) \cdot 3 – 18) \cdot 3 = 9N + 9 = 9(N + 1)\), co jest typowym i dla większości z nas przerażająco skomplikowanym przekształceniem algebraicznym. Dzieci chętnie zadają sobie takie zagadki nawzajem, a wtedy „dla zmylenia przeciwnika” układają inaczej skonstruowane wyrażenia – tak, by dostać podobny rezultat. Układają więc zadania dla siebie, zamiast tylko rozwiązywać te z podręcznika, co jest zdecydowanie lepszym ćwiczeniem umysłu.

Sztuczka działa znakomicie: „badany” jest w sporym szoku i choć podejrzewa, że 9 pojawi się zawsze, nie ma pojęcia, jakim cudem da się przewidzieć wynik kompletnie chaotycznych obliczeń, w których, jak mu się wydaje, nie ma żadnego sensu. Sumowanie cyfr w przekonaniu większości źle kształconych dorosłych już całkowicie wyklucza przewidywalność. Dzieje się tak właśnie dlatego, że liczb i cyfr uczymy się jak nazw, słów i liter – zgadywanie sumy cyfr jawi się nam w tej sytuacji jako zajęcie podobne do numerologicznych odczytań dokonywanych na podstawie imion lub dat urodzin. Przywykliśmy do manipulowania nazwami zamiast pojęć, które są ich treścią, jak ów platoński więzień, który nauczył się przewidywać zdarzenia obserwując cienie w jaskini. Posługujemy się systemem dziesiętnym nie widząc jego struktury – i w ten sam sposób uczymy liczenia dzieci: uczymy ich nazw liczb i tym nazwom nie nadajemy sensu.

Pora na wspomniany trzeci dowód. Zrobimy to poprzez „pisemne odejmowanie”. Każda liczba podzielna przez 9 daje się zapisać w postaci \(9N\), gdzie \(N\) jest wynikiem dzielenia tej liczby przez 9. \(9N\) oczywiście równa się \(10N – N\). I to odejmowanie wykonamy pisemnie, nie przejmując się tym, że nie znamy ani wartości \(N\), ani – tym bardziej – cyfr jej zapisu.

Żeby zaś było już absurdalnie trudno, załóżmy, że liczbę \(N\) zapisujemy przy pomocy \(k\) cyfr: od \(n_1\) (dla jedności) do \(n_k\).

Jeśli liczbę N zapisujemy jako $$n_k \ n_{k-1} \ldots n_3 \ n_2 \ n_1,$$ to \(10N\) będzie miała o jedną cyfrę więcej i będzie to zero, co zapiszemy oczywiście jako $$n_k \ n_{k-1} \ldots n_3 \ n_2 \ n_1 \ 0$$.Możemy teraz śmiało odejmować, nie przejmując się kłopotliwym faktem, że wszystko, co wiemy z pewnością, to właśnie zero na końcu:

Gdzie oczywiście na poszczególnych miejscach pojawią się jednocyfrowe wyniki zapisanych tu odejmowań. Zapis tego rodzaju wygląda na trudny do pojęcia i rzeczywiście potrafi sprawić dzieciom kłopot. Kłopot ten jednak znika od razu, kiedy powiemy dziecku, żeby się nie przejmowało, tylko zwyczajnie zapisało, co dokładnie robi, kiedy odejmuje pisemnie. Powyższe nie jest bowiem żadnym tajemniczym „wzorem”, a jedynie prostym i dosłownym zapisem czynności algorytmu odejmowania: przepisem na odejmowanie pisemne. Dwie ostatnie kolumny dotyczą stosowanego w algorytmie mechanizmu „pożyczania dziesiątek” z następnej pozycji: zero zostaje zastąpione przez 10, w związku z tym wartość \(n_1\), od której w następnej kolumnie odejmujemy \(n_2\), należy dodatkowo przed tym odejmowaniem pomniejszyć o 1.

Powyższe wyniki należy teraz zsumować. Nieznana wartość k, powodująca konieczność użycia wielokropka w zapisie, powoduje również drobny kłopot z dostrzeżeniem prawidłowości widocznej na szczęście dobrze na trzech ostatnich miejscach. Liczbę \(n_1\) odejmujemy na ostatnim miejscu, ale na przedostatnim występuje ona ze znakiem +. W sumowaniu \(n_1\) się wobec tego zniesie. Na miejscu drugim odejmujemy \(n_2\), która jednak ze znakiem + występuje na miejscu trzecim, zatem również \(n_2\) się zniesie. Z kolei na trzecim miejscu znajdujemy odejmowanie \(n_3\) – tej liczby nie widzimy ze znakiem + tylko dlatego, że kolejne miejsca zapisu zastąpił wielokropek. Wszystkie nieznane cyfry zapisu dziesiętnego liczby \(N\) znikną uproszczone w ten sam sposób przy sumowaniu cyfr. Zostanie tylko 10, od której odejmujemy \(n_1\) na miejscu pierwszym od prawej oraz \(-1\) na miejscu dziesiątek, bo aby odjąć od zera, musieliśmy „pożyczyć” dziesiątkę z sąsiedniej pozycji. Suma cyfr wynosi więc dokładnie 9.

Ale – jak zauważyliśmy – to jest przypadek najprostszy. Poza zerem wszystkie pozostałe cyfry liczby „na górze” były większe od tych znajdujących się poniżej, dlatego niczego więcej nie należało „pożyczać”. Zobaczmy w takim razie: każde „pożyczanie” oznacza dodanie kolejnej dziewiątki do sumy cyfr. Weźmy „okolicę” cyfry \(n_j\) i załóżmy, że \(n_j\) jest mniejsze od \(n_{j+1}\). Wtedy:

Znów wszystkie nieznane cyfry upraszczają się przy sumowaniu, a po uproszczeniu pozostaje tylko dziesiątka i ujemna jedynka, sumujące się z kolei do 9. To jest już druga dziewiątka w sumie cyfr, bo pierwszą, jak widzieliśmy, musimy mieć koniecznie na miejscach jedności i dziesiątek. Zatem suma cyfr rośnie nam o 9 za każdym razem, kiedy w odejmowaniu tu przedstawionym trzeba wykonywać „pożyczanie”. Kiedy tak się dzieje? Przypomnijmy sobie przekątne z poprzedniej części. Jeśli nasza liczba N = 9K, to jeśli K zapisuje się ciągiem cyfr malejących z lewej do prawej strony, liczba dziewiątek w sumie cyfr będzie maksymalna. Na płaszczyźnie setek te liczby leżą na lewo od przekątnej skierowanej odwrotnie do tej, na której leżą wielokrotności dziewiątki. Pomnożone przez 9 lądują w prawym górnym narożniku – mówiąc w sporym przybliżeniu i niezupełnie ściśle, skoro obserwowaliśmy „wędrowanie przekątnych” w poprzedniej części.

No, obliczenie sumy cyfr pisemnego odejmowania, to jest moment, kiedy dzieci mówią „kosmos”, albo „wow” zależnie od językowych nawyków: oto policzyliśmy sumę cyfr wyniku odejmowania kompletnie nieznanych liczb!

Tu z kolei nieco prostsze rozumowanie, które jest ściślejszą i bardziej sformalizowaną wersją rozumowania indukcyjnego z poprzedniej części.

Zero liczenia, dużo gadania. Co ma i zalety, i wady. Gadanie bywa nudne, ale dzieci rozumieją bez trudu, jeśli tylko wystarczająco zaciekawi je sztuczka, tajemnicze regularności na tabliczce mnożenia lub zabawa magiczną kostką w komputerze.

Sztuczka z dziewiątką jako atraktor działa znakomicie, jednak szybko się „zużywa”, skoro zawsze rezultatem jest właśnie 9. Można skorzystać z tych samych własności liczb podzielnych przez 3, ale warto uświadomić sobie, że prawidłowość z podzielnością przez 9 jest ogólniejsza niż to widzieliśmy do tej pory. Odejmowanie tego rodzaju da się przeprowadzić również w niedziesiętnych systemach. Wtedy wynik operacji wykonanych w ramach schematu zagadki będzie dowolny, a na dodatek cała zabawa straci wszelki czytelny związek z liczbami. Dzieci chętnie wchodzą również w to. Znając już dobrze sztuczkę z dziewiątką, domyślają się, że podobny mechanizm pozwala „magikowi” odgadnąć, że na stole leży np. 6 żetonów i ich ciekawość wyjaśnienia utrzymuje się.

Powiedzmy, że posługujemy się systemem siódemkowym. Co to znaczy? Ano to, że znamy tylko cyfry od 0 do 6 i przy ich pomocy zapisujemy wszystkie liczby. Nie używamy cyfr 7, 8 i 9, ani żadnych innych.

Licząc kolejno i zapisując, będziemy mieli:

• 1,
• 2,
• 3,
• 4,
• 5,
• 6,
• 10, gdzie 10 oznacza jedną siódemkę i zero jedności. Liczbę osiem zapiszemy więc jako 11. Itd. 6 + 6 w tym zapisie nie wyniesie 12, ale 15… Bo dwanaście to siedem (zapisywane teraz jako 10 z braku cyfry 7) i jeszcze 5.

Odliczając zaś kolejnymi siódemkami (zamiast dziesiątek):

• 10 (które oznacza teraz jedną siódemkę),
• 20 (oznaczające dwie siódemki, a więc czternaście w systemie dziesiętnym – liczbę piętnaście zapiszemy jako 21, szesnaście jako 22 itd.),
• 30 (trzy siódemki),
• 40,
• 50,
• 60,
• 100 (siedem siódemek, a więc czterdzieści dziewięć w systemie dziesiętnym – liczbę 50 zapiszemy więc teraz jako 101, a 56 jako 110),
• Itd.

W takim systemie suma cyfr liczby podzielnej przez 6, będzie zawsze podzielna przez 6. Ogólnie suma cyfr liczby podzielnej przez R zapisanej w systemie o podstawie R + 1 jest zawsze podzielna przez R. Dowód wygląda dokładnie tak samo, jak ten powyżej, a jedyną różnicą jest, że zamiast 10 wpisujemy używaną w systemie zapisu podstawę. Jeśli podstawę oznaczymy jako Q i w związku z tym Q wpiszemy zamiast 10 w powyższych słupkach pisemnych odejmowań, wynikiem będzie zawsze Q – 1 lub wielokrotność tej liczby. Podobnie w przypadku tabelek i kostek z poprzedniej części – wystarczy zmienić ich „rozmiar” i zamiast od 0 do 9, układać np. do 6. Liczby podzielne przez 6 ułożą się na tej samej przekątnej, a ich „współrzędne” będą się sumowały tak samo.

Wszystko to – przypomnijmy – wyjaśniliśmy czwartoklasiście po to, by mógł sobie teraz konstruować następne sztuczki, otrzymując taki wynik, jakiego zechce, a nie tylko 9. Np. taka sztuczka:

1. Weź garść żetonów i ukryj je, żeby były niewidoczne.
2. W ukryciu ułóż je w rządek.
3. Obok każdego z żetonów w rządku połóż 5 kolejnych – tak, żeby powstało 6 takich rządków (mnożenie przez 6 – darujemy sobie tym razem dodatkowe komplikacje z dodawaniem i odejmowaniem, zakładając, że i tak nikt nie zauważy znaczenia wielokrotności szóstki).
4. Weź teraz kilka z najmniejszych woreczków do pakowania żetonów. Pakuj kolejno po 7 żetonów do każdego woreczka. Pozostałe żetony, jeśli zostaną jakieś i będzie ich mniej niż 7 (bo 7 należałoby zapakować), pozostaw luzem.
5. Jeśli użyłeś więcej niż 6 woreczków, weź teraz trochę worków o większym rozmiarze. Pakuj do nich kolejno mniejsze woreczki – po 7 do każdego. Pozostałe woreczki pozostaw na stole.
6. Jeśli jest taka potrzeba (użyłeś 7 lub więcej woreczków większego rozmiaru), użyj jeszcze większych worków, postępując tak samo.
7. Zapakowawszy wszystko, poukładaj woreczki równo na stole razem z pojedynczymi żetonami. Zdejmij ze stołu woreczki, a na miejsce każdego z nich połóż na stole jeden żeton.
8. Z ustawionymi w ten sposób żetonami zrób jeszcze raz to samo – przejdź do kroku 4. Postępuj tak aż do momentu, w którym woreczki nie będą ci potrzebne, a na stole będą leżały pojedyncze żetony.
9. Na twoim stole leży teraz 6 żetonów.

Woreczków dziesiętnych używaliśmy w jednej z poprzednich części jako pomocy do nauki systemu dziesiętnego, zanim zaczynaliśmy stosować zapis cyfrowy w systemie dziesiętnym. Strategie dodawania i odejmowania wyprzedzały algorytmy działań pisemnych. Woreczki miały wtedy etykiety „10x” – teraz mogą mieć np. „7x” jeśli chcemy dzieciom zasugerować związki tego rodzaju. Jeśli taka zabawa potrwa odpowiednio długo, maluchy zobaczą, że w kroku 8. na stole może pozostać najwyżej 6 niespakowanych żetonów, bo każda większa liczba wymagałaby pakowania. I że zawsze faktycznie zostaje 6, a nigdy mniej. Jeśli zmieni się instrukcja pakowania i teraz do woreczków trafia np. po pięć żetonów, to w ostatnim kroku maksymalna możliwa liczba żetonów na stole wyniesie 4 i znów okaże się, że taki właśnie będzie wynik. W końcu dzieci zauważą być może także to, że 4 jest liczbą mnożenia na samym początku zgadywanki. W ten sposób sztuczka z podzielnością przez 9 jest adresowana również do najmłodszych uczniów i daje okazję do znakomitej współpracy maluchów z dziećmi nieco starszymi, które znają już strukturę systemu dziesiętnego, jej konsekwencje dla tabliczki mnożenia i algorytmów działań pisemnych, a teraz właśnie nabierają umiejętności wykonywania obliczeń w dowolnym niedziesiętnym systemie liczbowym.

Ci starsi to np. czwartoklasiści – przetestowałem to na dzieciach w tym wieku i rozumieją bez większego trudu.

Nagrodą może być dla nich powrót do domu i wykład dla zdumionego taty o tym, w jakich okolicznościach zdanie 10 + 10 = 100 staje się prawdziwe i że wtedy cała ta koszmarna tabliczka mnożenia z setką wyników do zapamiętania znika bez śladu i okazuje się już tym razem jawnie do niczego niepotrzebna. Tata nie uwierzy łatwo – cóż, trzymając się platońskiej alegorii, spędził całe życie w jaskini…

Zadania dla nauczycieli:

1. rozumieć powyższe;
2. ocenić przydatność, a jeśli ocena będzie pozytywna:
3. zadać dzieciom zestaw zagadek z wykorzystaniem podzielności przez 9 i np. 3, ale również z wykorzystaniem klocków i niedziesiętnych systemów;
4. zaaranżować sytuacje, w których dzieci zadają sobie zagadki wzajemnie;
5. umiejętnie odpowiadać na pytania dzieci;
6. sprowokować wyjaśnienia, dlaczego;
7. nie wymagać „opanowania materiału”;
8. rozpoznać zagadnienia poznawane „przy okazji” i zwrócić na nie uwagę dzieci: wyrażenia algebraiczne, rozumowanie indukcyjne, algorytmy działań pisemnych; systemy niedziesiętne i ich ogólność; arytmetyka modulo.

Zagadnienia do rozwinięcia i uzupełnienia dla autorów:

1. zagadki z innymi własnościami liczb;
2. arytmetyka modulo;
3. liczydła i arytmetyka liczydeł, „sztuczki obliczeniowe”;
4. arytmetyka ułamków dziesiętnych.