Jeśli suma cyfr zapisu liczby N jest podzielna przez 9, to N jest podzielne przez 9.

Każda liczba naturalna $N$ da się zapisać w systemie dziesiętnym (i każdym innym) przy pomocy skończonej liczby cyfr. Niech będzie tych cyfr $k$ i jeszcze jedna. Wtedy liczbę $N$ zapiszemy przy pomocy $k + 1$ cyfr (znaków) $n_i$, gdzie $i$ jest numerem znaku i przybiera wartości od $0$ do $k$: $$n_k \quad n_{k-1} \quad n_{k-2} \quad \ldots \quad n_2 \quad n_1 \quad n_0$$

No, już sam ten zapis odstręcza, prawda? Nie ma potrzeby wprowadzać go maluchom -- nawet, jeśli prezentujemy im niniejsze rozumowanie -- choć w takim wypadku nie zaszkodzi spróbować, w razie czego zastępując symbole $n_i$ innymi znaczkami i rezygnując z ogólnego zapisu, ustalając liczbę cyfr np. na trzy. To zresztą nie jest dowód dla dzieci. Chodzi w każdym razie o to, że tak zapisana cyfra jest równa:

$$n_k10^k + n_{k-1}10^{k-1} + n_{k-2}10^{k-2} + \ldots + n_210^2 + n_110^1 + n_010^0$$ Ten straszliwy zapis ma swoje zalety. Jest wygodny mimo grozy jaką budzi. Tłumacząc to na ludzki język, liczba 234 jest po prostu równa $2\cdot100 + 3\cdot10 + 4\cdot1$. Tyle znaczą zapisane wyżej w ogólnej postaci potęgi dziesiątki. Którą to dziesiątkę da się zastąpić dowolną inną liczbą, a wtedy dostaniemy system zapisu inny niż dziesiętny.

Dlaczego $10^0 = 1$? Dlaczego każde $a^0=1$? Krótko o tym – tu.

Wróćmy do dowodu. Zauważmy najpierw, że 10 podzielone przez 9 daje resztę 1. Podobnie 100 podzielone przez 9. Skracam tutaj dowód formalny, ale da się go zrobić – i może warto – skoro rzeczywiście bawiliśmy się z dziećmi klockami, liczbami kwadratowymi i trójkątnymi, korzystając z pierwszej części niniejszego działu i zerkając czasem na trójkąt Pascala. Trzeba mianowicie dowieść w sposób ścisły, że dla każdego całkowitego $k$ $10^k\div 9$ da zawsze resztę 1. Ponieważ oczywiście $10 = 9 + 1$, to $10^k = (9+1)^k$, a to wyrażenie jest zawsze sumą wielu składników, w których występuje 9 pomnożone przez współczynniki jak w trójkącie Pascala, do czego zawsze dodajemy na końcu 1. Tę część tu pomijamy, dowód może być np. indukcyjny i da się go na upartego przeprowadzić z dziećmi. Zrozumiałyby bez kłopotu, gdyby nie fakt, że to trochę nudne…

W każdym razie:

$10 = 9 +1$;

$100 = 99 + 1$;

$1000 = 999 + 1$;

…

$10^k = 99 \ldots 9 + 1$,

a dziewiątek w zapisie tej ostatniej liczby jest oczywiście dokładnie $k$. Co właściwie być może da się uznać za fakt również bez dowodu, jeśli się przestudiowało uważnie tabelki i kostki dziesiętne. Każda z liczb zawierających same dziewiątki w zapisie, jest oczywiście podzielna przez dziewięć (rezultatem będzie liczba zapisana samymi jedynkami).

I teraz uwaga: nasza liczba N zapisana jako$$n_k10^k + \ldots + n_210^2 + n_110^1 + n_010^0$$da się teraz zapisać (podstawiając), jako:$$n_k(99…9 + 1) + \ldots + n_2(99 + 1) + n_1(9 + 1) + n_0$$Rozwiązując (wykonujemy mnożenia sum, likwidując nawiasy):$$99…9n_k + n_k + \ldots + 99n_2 + n_2 + 9n_1+ n_1 + n_0$$ Składniki tej sumy to albo „gołe” cyfry zapisu dodane do siebie, albo cyfry pomnożone przez liczby na pewno podzielne przez dziewięć. Przeksztalćmy to więc, żeby widzieć wyraźniej, choć mamy kłopot z umiejscowieniem wielokropka: $$(99…9n_k + \ldots + 99n_2 + 9n_1) + (n_k + \ldots + n_2 + n_1 + n_0)$$ Nawiasy nie są tym razem do niczego potrzebne arytmetycznie, a jedynie ułatwia uporządkowanie bałaganu. Każdy składnik sumy w nawiasie z lewej strony zawiera liczbę zapisaną samymi dziewiątkami, więc każdy składnik dzieli się przez 9, a co za tym idzie przez 9 podzielna jest również suma w tym nawiasie. W nawiasie po prawej stronie zapisaliśmy natomiast nie co innego, jak sumę cyfr liczby N, a ona ma być z założenia podzielna przez 9 -- bo właśnie takie liczby rozważamy. Zatem liczba zapisana tymi cyframi dzieli się przez 9. Koniec dowodu. Bezpośrednio z naszym tematem się nie wiąże, jednak ktoś, kto prześledził i zrozumiał powyższe, z pewnością wie już, „jak działa” dziesiętny system zapisu.