wróć

\(\forall n \in \mathbb{N}; \ \forall a \in \mathbb{R}; \ \exists k \in \mathbb{N}: \ (a+1)^n = ka+1\)

Wersja ogólna i bardziej sformalizowana:

Dowód indukcyjny ze względu na n. Kroki:

1. Dla \(n = 1\) teza przyjmuje trywialną postać: dzielenie \(\frac{a + 1}{a}\) da oczywiście zawsze 1 z resztą 1. (Widzimy zresztą, że dla prawidłowego sformułowania należy zastrzec, że \(a\) musi być różne od 1.)
2. Trzeba dowieść, że jeśli dla pewnego \(n\), jeden jest resztą z dzielenia \(\frac{(a + 1)^n}{a}\), to również jeden będzie resztą z dzielenia \(\frac{(a + 1)^{n+1}}{a}\). Skoro 1 jest resztą z dzielenia \(\frac{(a + 1)^n}{a}\), to znaczy to tyle (przepisując z nagłówka obrzydliwie formalny zapis), że istnieje jakaś liczba naturalna \(k\), taka, że \((a + 1)^n = ak + 1\). W ludzkim języku k jest po prostu całkowitą częścią rezultatu dzielenia. Rozpiszmy teraz \((a + 1)^{n+1}\). To po prostu tyle, co \((a + 1)^n(a + 1)\). Zgodnie z założeniem, możemy teraz podstawić \(ak + 1\) zamiast \((a + 1)^n\), otrzymując \((ak + 1)(a + 1)\). To z kolei, „rozwiązując” poprzez wykonanie mnożenia i zlikwidowanie nawiasów: \(a^2k + ak  + a + 1 = a(ak + k + 1) + 1\). Oczywiście dzielenie tego wyrażenia przez a, da nam wynik ak + k + 1, a jedynka spoza nawiasu będzie resztą z dzielenia.
3. Z indukcji – twierdzenie jest prawdziwe dla każdego \(n\).

Dowód formalny w przypadku dziewiątki (uproszczony):

\((9 + 1)^n = 10^n = 10^{n}9 + 10^{n-1}9 + \ldots + 9 + 1 = 9(10^{n} + 10^{n-1} + \ldots +1) + 1 = 9 \cdot 11..1 + 1\). Druga z powyższych równości, to cecha systemu dziesiętnego. To inaczej zapisana oczywistość, że \(10^n = 99\ldots9 + 1\), przy czym dziewiątek jest \(n\)