Korzyści z odrabianek

Oczywiście, że nie jest istotne sprawne posługiwanie się tabliczką mnożenia do zrozumienia zadań na prędkość itp. Sprawne posługiwanie się tabliczką mnożenia jest jednak niezbędne do szybkiego rozwiązywania takich zadań na sprawdzianie szóstoklasisty, który na, jak kazdy test, ograniczony czas. Na sprawdzianie nie jest bowiem istotne, czy i w jaki sposób dziecko rozumie prędkość, a nawet samo mnożenie. Istotne jest, czy w danym czasie rozwiąże wszystkie zadania. Dopóki istnieją egzaminy decydujące o dalszej edukacji dziecka (niezależnie od ich formy), dopóty opanowanie mechanicznych czynności ułatwiających wykonywanie zadań jest potrzebne, niestety. Najpierw należałoby znieść egzaminy, potem uczyć dogłębnie. Odwrotna kolejność nie ma sensu, bo to skaże na porażkę edukacyjną niektóre bardzo zdolne dzieci, które co z tego, że rozumieją duzo, skoro nie potrafia tego udowodnić na typowym egzaminie.

Ważna sprawa – zadawać pracę domową, tylko wtedy gdy jest na prawdę sensowna i potrzebna i koniecznie (w pocie czoła) sprawdzać.
Film ekstra, dzięki niemu i np kolorowi tła i wizualizacji inni lepiej mogą zapamiętać procedurę postępowania w razie wypadku.
Też jestem za wyborem pracy domowej. Gdyby moja dziewczynka z Pragi mogła wybrać spośród tych 20 zadań, to pewnie zrobiłaby je wszystkie, ale z jak inną motywacją.
D

Wybieram wersję z 2013 roku, bardzo lubię kolorować. D

Pani Doroto
Nie miałam jeszcze okazji nauczyć dziewczynkę tabliczki, staram się przy różnych zadaniach powracać do tabliczki. Ale myślę o pewnym sposobie (pochodzącym od bardzo mądrej ś.p. nauczycielki matematyki) na ćwiczenie tej umiejętności. Co by nie mówić, nie jest to zbyt pasjonujące zajęcie.
Pani sugestia w sprawie odpowiedzialności uczniów za uczenie się, jest ze wszech miar pożądana, ale jakoś z mojego punktu widzenia mało realna. Mało któremu nauczycielowi udało się „zaszczepić” tę odpowiedzialność. Szczególnie jak się popatrzy na dorosłych już ludzi.
Na pewno warto nie zniechęcić do nauki, a to też nie jest takie proste.
Danusia

On jest taki: Bierzemy pudełko od zapałek w nim robimy kartoniki.Po jednej stronie jest napisane: 5 x 6, a po drugiej 30. Tak z całą tabliczką. Najpierw obklejamy pudełko papierem kolorowym, podpisujemy z dzieckiem, tak aby stało się własnością dziecka. Pierwszy raz razem z dzieckiem przelatujemy karty, pytamy ile jest 5 x 6, jeśli dobrze odpowie, to odkładamy, a jeśli źle, to kładziemy kartę na dół pudełka.
Potem mówimy dziecku, aby raz lub dwa razy dziennie „przeleciało” zestaw kartek i obiecujemy mu, że po tygodniu będzie znać tabliczkę dzięki swojemu magicznemu pudełku.
Działa!
Danusia

Pani Doroto,
Pani uwaga o algorytmach dzielenia pisemnego prowokuje mnie natychmiast do kilku myśli. Chcę przy tym jednak wyraźnie zaznaczyć kilka rzeczy specyficznych dla mojego własnego punktu widzenia:
1. Mam kilka pomysłów na treść edukacji bardzo radykalnie różnych od treści szkolnych podręczników, one są w stanie najwyżej w kilka miesięcy nadrobić zaległości 12 lat szkoły, ale wszystkie są adresowane do gimnazjalistów i licealistów. Nauczanie maluchów budzi u mnie respekt, wiem o tym bardzo mało i raczej próbuję głośno myśleć.
2. Uważam, że dzisiejsza oświata w Polsce i na świecie (większych różnic tu nie ma) tworzy doskonały materiał empiryczny pokazujący przede wszystkim wady realizowanej w szkołach filozofii. W Polsce objawia się to tym, że 3/4 absolwentów oświaty ma głęboki uraz do matematyki. On nie wynika z talentów – Polacy boją się np. procentów nie dlatego przecież, że nie są ich w stanie pojąć.
3. Wyjścia, które proponuję w odniesieniu do starszej młodzieży, jak również te, które mi przychodzą do głowy w odniesieniu do dzieci, są – delikatnie mówiąc – ekscentryczne i nauczyciele na ogół sądzą, że są one nie do wykorzystania w rzeczywistej szkolnej praktyce. Ja co prawda uważam, że również z punktu widzenia szkolnych testów i egzaminów opłaca się odrzucić szkolne podręczniki i nauczyć dzieci myśleć, a wtedy na testach poradzą sobie z łatwością. Jednak ewolucja stosowanych w szkołach testów (coraz częściej uniemożliwiających ocenę rozumowania i pozwalających jedynie sprawdzić prawidłowość wyniku), a także ewolucja treści i metod osłabia skuteczność takiego podejścia. Moi podopieczni gimnazjaliści (mają jedynki z matematyki i fizyki) wracając po moich warsztatach do szkoły, znając i rozumiejąc np. wyprowadzenia podstawowych wzorów teorii względności (bo czasem bierzemy się za tak ambitne dla dzieciaków zadania) i dysponując odpowiednim pojęciowym aparatem matematycznym obejmującym spore elementy analizy i algebrę w ciele liczb zespolonych często wcale nie mają w szkołach łatwiejszego życia, a przeciwnie.
Wracając do algorytmów dodawania, mnożenia i dzielenia pisemnego i pytań, po co ich uczymy. To jest pierwsze pytanie, które sobie trzeba moim zdaniem postawić przed każdą lekcją. Odpowiedź, że to jest konieczne, by potem robić na tej podstawie rzeczy następne jest moim zdaniem fundamentalnym błędem, popełnianym również w filozofii oceniania kształtującego. Kiedy np. Danusia mówi, że celem ćwiczeń w znajdowaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb jest przygotowanie do dodawania ułamków o różnych mianownikach, to ja w tym widzę bardzo zasadniczy błąd. To po pierwsze jest cel nauczyciela – dla dzieci on jest obcy. Po pierwsze trzeba by najpierw wiedzieć przede wszystkim, dlaczego dla dzieci dodawanie ułamków ma się stać atrakcyjne na tyle, że zechcą z tego powodu zainteresować się żmudnymi w końcu rachunkami. To dość trudne – kto z nas, dorosłych, uznałby dodawanie ułamków za ciekawy problem i przyjemne zajęcie? Po drugie jeśli nawet cel ma być właśnie taki, to kolejność powinna być dokładnie odwrotna. Powinniśmy najpierw postawić przed dziećmi zadanie – dodać dwie nieprzystające liczby (wiedząc jednak koniecznie, dlaczego dzieci mają to potraktować jako ciekawe i angażujące wyzwanie), a potem cofnąć się z nimi do brakujących pojęć. To działa – dzieci, z którymi rozmawiam o teorii względności nie maja na ogół pojęcia ani o fizyce Newtona, ani o podstawowej matematyce i wszystkiego tego dowiadują się „po drodze”.
Jeśli nauczycielowi nie uda się znaleźć powodu, dla którego to lub tamto zagadnienie okaże się ciekawe, powinien z niego po prostu zrezygnować – takie jest moje zdanie, a fakt, że się to znalazło w programie nie jest wystarczającym powodem. Efektem uporczywej realizacji nieinteresującego dzieci programu są wspomniane urazy do matematyki. Nad pytaniem o rzeczywistą przydatność algorytmów działań pisemnych, które tu Ksawery postawił, warto się zastanowić całkiem poważnie. Ksawery ma rację – ludzie już niczego pisemnie nie liczą. Praktyczna użyteczność tych rzeczy jest żadna. Pani intuicja, że to po prostu rozwija, podoba mi się. Z kilkoma zastrzeżeniami wszakże. Twierdzę, że podręcznikowe „realizacje” tych algorytmów uczą ich stosowania bez zrozumienia. Żaden z nich nie jest do zrozumienia trudny, a wszystkie one są sprytne i intensywnie korzystają z tych kilku podstawowych własności arytmetycznych (rozdzielność np.) oraz wyjaśniają oś konstrukcji pozycyjnej notacji i jej sens.
Sam dość często wykorzystuję pisemne działania w niedziesiętnych systemach pozycyjnych. Nie spotkałem dotąd wśród swoich uczniów ani jednego, który umiejąc stosować te algorytmy, wiedziałby, dlaczego one działają. Wiem z tych doświadczeń, że im lepiej wyćwiczone jest dziecko w stosowaniu tych algorytmów, tym trudniej przychodzi mu zrozumieć istotę ich konstrukcji. Jedną ze sztuczek, które stosuję często jest „odgadywanie myśli” wykorzystujące fakt, że suma cyfr liczby podzielnej przez 9 jest również podzielna przez 9. Dlaczego tak się dzieje, pokazuję z użyciem pisemnego odejmowania 10k – k. Tę własność da się uogólnić na niedziesiętne systemy. Schodząc w dół dochodzimy do systemu dwójkowego, w którym ona się okazuje trywialną tautologią, bo oczywiście wszystko dzieli się przez 1.
Zostawiając te szczegóły na boku – rzeczywiście jeśli sens ma uczyć dzieci tych rzeczy, to nie po to, żeby osiągnęły biegłość w liczeniu, ale raczej po to, by poznając sprytną konstrukcję przeżyły rozwijającą przygodę intelektualną. Proszę zwrócić uwagę na konsekwencje, które z tego wynikają. Czy jest sens ćwiczyć potem dzieci w wykonywaniu obliczeń? Czy w ogóle wypada je z tego potem odpytywać na klasówkach? Jeśli celem i sensem takich zajęć jest zrozumienie pojmowane jako wyzwanie dla dziecka i przygoda intelektualna, to każde odpytywanie ten sens natychmiast zrujnuje.
Podobnie jest z wzorem na objętość kuli, o co się kłóciłem z prof. Marciniakiem, autorem podstawy programowej, co już tu cytowałem kilka razy. Kto z nas liczy kiedykolwiek objętość kuli? Jaką wartość ma ten wzór dla wykształconego nie-matematyka. Ok. on ma ponad 2 tys. lat i jest elementem kulturowej klasyki. Ale w Grecji rozumiano, dlaczego on działa i jest prawdziwy. W naszych szkołach – wszędzie na świecie – dzieci dostają go do wkucia po to, by go stosować w rozmaitych zadaniach. To absolutne pomylenie podstawowych pojęć i celów.
Twierdzę, że wszystko, co wiemy o dziecięcym poznaniu, naturalnej sekwencji wzajemnie się wyjaśniających pojęć, jest w dużej mierze fałszywe i skażone praktyką złej szkoły. Diabelskie liczby ujemne niekoniecznie muszą być trudniejsze i mniej realne niż wkuwanie na pamięć tabliczki mnożenia. Jej znajomość z kolei nie jest konieczną podstawą matematycznego myślenia. Absolutnie!
Wracając do przykładu z podzielnością przez 9. Testowałem to na czwartoklasistach. Dzieci w tym wieku są się w stanie zafascynować magią „zgadywania myśli”. Dzięki temu udało mi się je „wkręcić”. Dzieci poznały logikę „zjawiska”, poznały dowód, poznały niedziesiętne systemy itd. To było dla nich bardzo trudne – fakt. Ale dzieci lubią trudne rzeczy, przecież zwłaszcza magia powinna być trudna. Te dzieci miały potem pełną świadomość wszystkich reguł łączności, przemienności, rozdzielności itd. Przecież wiedziały o wiele więcej niż to. Obawiam się jednak, że kolejne szkolne zderzenia np. z wyrażeniami algebraicznymi mogły w nich zabić efekty tych lekcji.

Pani Doroto,
„Sztuczka” z dziewiątką jest prosta i jeśli to o te pomysły Pani chodziło, to szkic jest taki:
Prosi się delikwenta, żeby pomyślał sobie jakąś dowolną liczbę (należy uprzedzić, żeby nie była zbyt wielka, bo będzie trzeba liczyć). Następnie należy kazać mu wykonać przeliczenia tak, by go troszkę zmylić i mieć gwarancję, że wynik będzie podzielny przez 9. A więc np. dodaj 4, pomnóż przez 3, dodaj 2, pomnóż przez 3, odejmij 33 (wyjdzie 9N + 9). Następnie należy poprosić o zsumowanie cyfr wyniku. Jeśli i ta suma będzie liczbą wielocyfrową, należy zsumować ponownie. Wychodzi 9, co zgadujemy ku zaskoczeniu delikwenta. Przy okazji – ja zatrudniałem przy tej i podobnych okazjach dzieciaki, by podobne zagadki zadawały sobie nazwajem, co jest kolejną „nieinwazyjną” metodą skłaniającą dzieci do liczenia. Proszę spojrzeć zresztą – sztuczka z dziewiątką wykorzystuje kawałek szkolnego materiału o wyrażeniach algebraicznych i pokazuje, że dzieci więcej zrozumieją układając te wyrażenia niż je tylko rozwiązując.
Teraz pokazujemy dzieciom, jak ta sztuczka działa – pokazujemy to odejmując pisemnie. Część moich czwartoklasistów to umiała, a część nie. Wszystkim trzeba było po drodze pokazać sens dodawania i odejmowania pisemnego – dzieci w ogóle nie zdawały sobie sprawy, że liczba zapisana ciągiem znaków N1 N2 N3 jest równa N3x1 + N2x10 + N1x100. Nie rozumiały więc tym bardziej, dlaczego działa algorytm pisemnego dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Trzeba im to było uświadomić i pokazać, jakie korzyści ma taki sposób zapisu (zwracając uwagę na znaczenie np. zera w pozycji N2) – a jedną z korzyści są oczywiście działania pisemne.
Część moich dzieciaków wykazywała w tym miejscu opór, twierdząc – słusznie – że do liczenia są telefony i komputery. Obiecałem im, że im pokażę, jak można zrobić komputer z drewna i wdałem się z nimi w krótką rozmowę o tym, czy komputer myśli. Wszyscy miewamy takie wrażenie, kiedy z nim gramy nie tylko w szachy, ale również w jakieś np. strzelanki, kiedy komputer zachowa się „sprytnie”. Albo kiedy zaczyna „wariować” i nie chce zrobić czego od niego chcemy. Lekcja na ten temat była osobnym i właściwym tematem, który akurat ja z moimi dzieciakami realizowałem. Tematem była mianowicie sztuczna inteligencja. Sztuczka z dziewiątką pojawiła się po drodze, żeby nie było nudno. Ale sama ta sztuczka pozwala uniknąć wstępu o teorii systemów dziesiętnych. Można od razu przejść do pokazania, dlaczego wynik będzie zawsze dziewięć. Konstrukcja układu pozycyjnego i sens algorytmów pisemnych wyjdzie przy okazji i nie ma potrzeby zawracać tym dzieciom głowy, skoro da się od razu przejść do rzeczy.
Proszę spojrzeć. Trzeba pisemnie odjąć 10K – K. Nie tracąc wiele z ogólności przyjmijmy, że mamy do czynienia z liczą trzycyfrową. Odejmujemy zatem pisemnie:
N1 N2 N3 0
– N1 N2 N3
Sam ten zapis już coś dzieciom zaczyna wyjaśniać – część tych moich, zaczynała na ten widok kombinować samodzielnie. Pod kreską po prawej stronie, od której zaczynamy, dostajemy oczywiście wynik:
10 – N3
Na drugim miejscu dostajemy (niekoniecznie tak, ale o tym za chwilę):
N3 – 1 – N2 i dalej:
N2 – N1
N1
Suma powyższych wierszy daje zawsze 9. Ale oczywiście nie zawsze musi się tak złożyć. Może się np. zdarzyć, że na drugim miejscu N3-1 będzie mniejsze od N2 i przy odejmowaniu trzeba będzie tutaj pożyczyć jedną z N2x10 dziesiątek z kolumny setek obok. W takim przypadku lista kolejnych cyfr będzie wyglądała z kolei tak:
10 – N3
10 + N3 – 1 – N2
N2 – 1 – N1
N1
Co dodając, otrzymujemy zawsze 18. Itd. Dowód ten dość łatwo uogólnić na dowolną liczbę cyfr w zapisie liczby i dowolną liczbę kombinacji w rodzaju tej, której przed chwilą dokonaliśmy, pokazując, co się dzieje w sytuacji „pożyczania” dziesiątki. Formalny dowód można dzieciom darować. Wszystko, co trzeba zobaczyć, widać aż nadto wyraźnie na dwóch lub trzech cyfrach.
Można w ten sposób pokazać te same działania w systemach innych niż dziesiętne, co w tym miejscu zaczyna być dla dzieci zabawne samo w sobie. Można sprowokować dzieci, by z wykorzystaniem systemów innych niż dziesiętne, umiejąc przeliczać z jednego systemu na drugi, opracowały „magiczne sztuczki” z wynikiem innym niż 9, choć to już jest skomplikowane. Systemy „krótsze” od dziesiętnego ujawniają swoje zalety przy mnożeniu i dzieleniu. Okazuje się, że tabliczka mnożenia 10×10 jest być może nieopotrzebnie długa, bo w systemie piątkowym 5×5 zupełnie wystarczy, a w dwójkowym mnożenie i dzielenie staje się trywialną operacją przesuwania klocków. Dzieci zwykle dobrze się bawią mnożąc i dzieląc w systemie dwójkowym.
Porządny scenariusz takiej lekcji, najlepiej z wykorzystaniem drewnianego komputera i tematu inteligentnej maszyny, bo wtedy się robi naprawdę ciekawie mogę tu umieścić za jakiś czas. Teraz trochę jestem zajęty.
Takie lekcje prowadziłem z dzieciakami jeszcze w mieście (zanim się wyniosłem do lasu) i osiągałem niezłe rezultaty zwłaszcza łącząc dzieci w różnych grupach wiekowych. Gimnazjaliści układali problemy, pisali programiki wizualizujące różne rzeczy dzieciom młodszym, uczyli je opisanych tu rzeczy i mnóstwa innych, samemu ucząc się również na potęgę, bo oczywiście także gimnazjaliści nie mają przecież pojęcia, dlaczego algorytm pisemnego dzielenia działa, a niedziesiętne systemy liczbowe są dla nich często trudniejsze niż dla maluchów. W takich sytuacjach rolą nauczyciela jest tylko pomagać dzieciom starszym w uczeniu młodszych, a obie grupy uczą się na potęgę – nauczyciel zresztą również.